Utilize o Teorema da Mudança de Variáveis para calcular integral1^2 integral1y^y raizyx e^raizx y d x d y. Sugestão: Faça x=uv e y=u v. Resp.: 2 e(e-2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integraly=1^2 integralx=1/y^y raiztfracyx,e^raizxy,dx,dy usando mudança de variáveis, com a sugestão x=uv, y=uv. Vamos aplicar o Teorema da Mudança de Variáveis, calculando o jacobiano, transformando o integrando e encontrando os novos limites.

Passo 2

Para calcular o jacobiano, escrevemos:
x = uv, y = uv
As derivadas parciais são:
partial(x,y)partial(u,v) = det tfrac1v & -tfracuv^2 v & u = uv + uv = 2uv
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dx,dy = l|tfrac2uvr|,du,dv = 2uv,du,dv
Também transformamos o integrando:
raizyx = raizuvu/v = v, e^raizxy = e^u
Então
raiztfracyx,e^raizxy,dx,dy = v,e^ucdot 2uv,du,dv = 2u,e^u,du,dv

Passo 3

Do domínio original 1<= y<=2, tfrac1y<= x<= y obtemos em (u,v):
  • De y=uv vem 1<= u v<=2.
  • De x=tfracuv>= tfrac1y=tfrac1uv obtemos u^2>=1 então u>=1.
  • De x=tfracuv<= y=uv obtemos v^2>=1 então v>=1.
    Combinando, 1<= u<=2 (pois uv<=2 e v>=1 exigem u<=2) e, para cada u,
1<= v<= 2u

Passo 4

Assim a integral vira
integralu=1^2integralv=1^2/u 2u,e^u,dv,du
Integrando em v:
integralv=1^2/u2u,e^u,dv = 2u,e^ul(2u-1r) = 4e^u -2u,e^u
Agora em u:
integral1^2(4e^u -2u e^u),du = l[6e^u -2u e^ur]1^2 = l(6e^2 -4e^2r) - l(6e -2er) = 2e^2 -4e = 2e(e-2)

Passo 5

Chegamos ao valor final da integral dupla.

Resposta

2e(e-2)

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