Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões R dadas abaixo:
R é a região delimitada pelas curvas y=9-x^{2}, y=-2 x+6, x=-5 e x=3.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • A curva y=9-x^{2}.
    • A reta y=-2x+6.
    • As retas verticais x=-5 e x=3.
  • O enunciado pede: calcular a área da região R delimitada por essas quatro curvas.

Passo 2

Ideia matemática que vamos usar (explicação didática sobre integrais de Riemann e área entre curvas).
  • Pensamento geométrico: para uma função y=u(x) que fica acima de y=v(x) num intervalo [a,b], a área entre as curvas de x=a até x=b é dada pela integral
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(u(x)-v(x)\bigr)\,dx.Á
  • Por que isso? Imagine dividir [a,b] em pedaços pequenos e, em cada pedaço, aproximar a região por um retângulo de base \Delta x e altura aproximadamente u(x_i)-v(x_i). Somando esses retângulos e fazendo a partição ficar infinitamente fina (o limite), obtemos a integral de Riemann acima.
  • Observação prática para esta questão: as curvas y=9-x^{2} e y=-2x+6 se cruzam em alguns pontos; onde uma está acima da outra pode mudar. Sempre que a ordem (quem é o topo e quem é o fundo) mudar dentro do intervalo [-5,3], devemos dividir a integral em partes onde a ordem seja fixa.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção entre y=9-x^{2} e y=-2x+6.
  • Igualamos as expressões:
9-x^{2} = -2x+6.
  • Colocando tudo num lado:
9-x^{2}+2x-6=0 \quad\Rightarrow\quad -x^{2}+2x+3=0.
  • Multiplicando por -1:
x^{2}-2x-3=0.
  • Resolver (fatorando):
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)=0.
  • Logo as interseções ocorrem em
x=-1 \qquad\text{e}\qquad x=3.
  • Os pontos correspondentes (opcional): em x=-1 o y vale 9-(-1)^{2}=8 (ou -2(-1)+6=8); em x=3 ambas as curvas valem 9-9=0 (ou -2\cdot3+6=0).

Passo 4

Determinar, no intervalo [-5,3], qual curva está acima em cada subintervalo.
  • As interseções encontradas são em x=-1 e x=3. Como as retas verticais dadas são x=-5 e x=3, o intervalo total é [-5,3]. O ponto x=3 é uma das fronteiras, e a única interseção interna é x=-1. Portanto devemos checar os sinais em [-5,-1] e em [-1,3].
  • Teste em x=-5:
    • y_{\text{parab}}=9-(-5)^{2}=9-25=-16.
    • y_{\text{reta}}=-2(-5)+6=10+6=16.
    • Como -16<16, a reta y=-2x+6 está acima da parábola em x=-5. Isso indica que em alguma vizinhança à esquerda de -1 a reta é o topo.
  • Teste em x=0 (entre -1 e 3):
    • y_{\text{parab}}=9-0^{2}=9.
    • y_{\text{reta}}=-2\cdot0+6=6.
    • Como 9>6, a parábola y=9-x^{2} está acima da reta em x=0.
  • Conclusão:
    • Em [-5,-1] o topo é y=-2x+6 e o fundo é y=9-x^{2}.
    • Em [-1,3] o topo é y=9-x^{2} e o fundo é y=-2x+6.

Passo 5

Montar a expressão da área como soma de integrais (usando a fórmula da área entre curvas).
  • Pela conclusão anterior, a área de R é
\text{Área}(R)=\int_{-5}^{-1}\bigl((-2x+6)-(9-x^{2})\bigr)\,dx \;+\;\int_{-1}^{3}\bigl((9-x^{2})-(-2x+6)\bigr)\,dx.Á
  • Simplificando as integrais:
    • Para o primeiro integrando:
    (-2x+6)-(9-x^{2})=x^{2}-2x-3.
    • Para o segundo integrando:
    (9-x^{2})-(-2x+6)=-x^{2}+2x+3.
  • Assim
\text{Área}(R)=\int_{-5}^{-1}\bigl(x^{2}-2x-3\bigr)\,dx+\int_{-1}^{3}\bigl(-x^{2}+2x+3\bigr)\,dx.Á

Passo 6

Calcular cada integral passo a passo (antiderivadas).
  • Antiderivada de x^{2}-2x-3:
\int\bigl(x^{2}-2x-3\bigr)\,dx=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}-3x + C.
  • Antiderivada de -x^{2}+2x+3:
\int\bigl(-x^{2}+2x+3\bigr)\,dx=-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+3x + C.

Passo 7

Avaliar as integrais definidas e somar (contas mostradas detalhadamente).
  • Primeiro integral: I_{1}=\int_{-5}^{-1}\bigl(x^{2}-2x-3\bigr)\,dx =\left[\frac{x^{3}}{3}-x^{2}-3x\right]_{x=-5}^{x=-1}.Calcular os valores: \left(\frac{(-1)^{3}}{3}-(-1)^{2}-3(-1)\right) =\left(-\frac{1}{3}-1+3\right) =-\frac{1}{3}+2=\frac{5}{3}.
\left(\frac{(-5)^{3}}{3}-(-5)^{2}-3(-5)\right) =\left(-\frac{125}{3}-25+15\right) =-\frac{125}{3}-10 =-\frac{125}{3}-\frac{30}{3}=-\frac{155}{3}.
Então
I_{1}=\frac{5}{3}-\left(-\frac{155}{3}\right)=\frac{160}{3}.
  • Segundo integral: I_{2}=\int_{-1}^{3}\bigl(-x^{2}+2x+3\bigr)\,dx =\left[-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+3x\right]_{x=-1}^{x=3}.Calcular os valores: \left(-\frac{3^{3}}{3}+3^{2}+3\cdot3\right) =\left(-\frac{27}{3}+9+9\right) =(-9+18)=9.
\left(-\frac{(-1)^{3}}{3}+(-1)^{2}+3(-1)\right) =\left(\frac{1}{3}+1-3\right) =\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}.
Então
I_{2}=9-\left(-\frac{5}{3}\right)=9+\frac{5}{3}=\frac{27}{3}+\frac{5}{3}=\frac{32}{3}.
  • Soma das áreas parciais: \text{Área}(R)=I_{1}+I_{2}=\frac{160}{3}+\frac{32}{3}=\frac{192}{3}=64.Á

Resposta

\text{Área}(R)=64Á

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