Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões
dadas abaixo:
R é a região delimitada pelas curvas
e
.
R é a região delimitada pelas curvas
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dados (pegos do enunciado):
- A curva
. - A reta
. - As retas verticais
e .
- A curva
- O enunciado pede: calcular a área da região
delimitada por essas quatro curvas.
Passo 2
Ideia matemática que vamos usar (explicação didática sobre integrais de Riemann e área entre curvas).
- Pensamento geométrico: para uma função
que fica acima de num intervalo , a área entre as curvas de até é dada pela integral
- Por que isso? Imagine dividir
em pedaços pequenos e, em cada pedaço, aproximar a região por um retângulo de base e altura aproximadamente . Somando esses retângulos e fazendo a partição ficar infinitamente fina (o limite), obtemos a integral de Riemann acima. - Observação prática para esta questão: as curvas
e se cruzam em alguns pontos; onde uma está acima da outra pode mudar. Sempre que a ordem (quem é o topo e quem é o fundo) mudar dentro do intervalo , devemos dividir a integral em partes onde a ordem seja fixa.
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção entre
e
.
- Igualamos as expressões:
- Colocando tudo num lado:
- Multiplicando por
:
- Resolver (fatorando):
- Logo as interseções ocorrem em
- Os pontos correspondentes (opcional): em
o vale (ou ); em ambas as curvas valem (ou ).
Passo 4
Determinar, no intervalo
, qual curva está acima em cada subintervalo.
- As interseções encontradas são em
e . Como as retas verticais dadas são e , o intervalo total é . O ponto é uma das fronteiras, e a única interseção interna é . Portanto devemos checar os sinais em e em . - Teste em
: -
. -
. - Como
, a reta está acima da parábola em . Isso indica que em alguma vizinhança à esquerda de a reta é o topo.
-
- Teste em
(entre e ): -
. -
. - Como
, a parábola está acima da reta em .
-
- Conclusão:
- Em
o topo é e o fundo é . - Em
o topo é e o fundo é .
- Em
Passo 5
Montar a expressão da área como soma de integrais (usando a fórmula da área entre curvas).
- Pela conclusão anterior, a área de
é
- Simplificando as integrais:
- Para o primeiro integrando:
- Para o segundo integrando:
- Assim
Passo 6
Calcular cada integral passo a passo (antiderivadas).
- Antiderivada de
:
- Antiderivada de
:
Passo 7
Avaliar as integrais definidas e somar (contas mostradas detalhadamente).
- Primeiro integral:
Calcular os valores:
Então
- Segundo integral:
Calcular os valores:
Então
- Soma das áreas parciais: