Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões R dadas abaixo:
R é a região limitada no plano e que esteja entre as curvas y=x e y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região R limitada entre as curvas y=x e y=x^{2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As curvas que limitam R são y=x e y=x^{2}.
  • A região R é a parte do plano contida entre essas duas curvas (fechada e limitada).
  • As interseções das curvas são soluções da equação x = x^{2} (essa equação aparece porque nos pontos de interseção os y das duas curvas são iguais).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre as curvas resolvendo a equação x = x^{2}. Vou resolver passo a passo:
x = x^{2}
Colocando tudo do mesmo lado:
x^{2} - x = 0
Fatorando:
x(x-1)=0
Portanto as soluções são
x=0\quad\text{ou}\quad x=1.
Esses valores de x correspondem aos limites horizontais da região R: as abscissas onde as curvas se encontram são x=0 e x=1.

Passo 3

Determinar qual curva está acima (maior y) e qual está abaixo no intervalo entre as interseções x\in[0,1]. Para isso compare x e x^{2} quando 0<x<1.
Tomemos um argumento algébrico: para 0<x<1 tem-se x^{2}<x porque ao multiplicar x por si mesmo diminui o valor (ex.: se x=\tfrac12, então x=\tfrac12 e x^{2}=\tfrac14). Logo, no intervalo aberto (0,1) vale
x > x^{2}.
Nos pontos extremos x=0 e x=1 as duas curvas coincidem (ambas dão y=0 e y=1, respectivamente). Conclusão: sobre o intervalo [0,1], a curva superior (topo) é y=x e a curva inferior (fundo) é y=x^{2}.

Passo 4

Recordando a ideia de integrais de Riemann para área: se uma região é limitada por duas funções contínuas y=f(x) (acima) e y=g(x) (abaixo) entre x=a e x=b, então a área A dessa região é dada pela integral
A=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
Breve intuição (Riemann sums): partimos [a,b] em pequenos subintervalos, em cada subintervalo tomamos a diferença de alturas f(x_i^*)-g(x_i^*) e multiplicamos pela largura \Delta x; somando e fazendo o limite quando \Delta x\to0 obtemos a integral acima. Aqui a variável de integração x é a abscissa horizontal; f(x) e g(x) são os valores verticais das curvas.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso: os limites são a=0 e b=1, a função de cima é f(x)=x e a de baixo é g(x)=x^{2}. Assim a área de R é
A=\int_{0}^{1}\bigl(x - x^{2}\bigr)\,dx.
Agora calculo a integral passo a passo. Integro termo a termo:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Portanto a antiderivada de x-x^{2} é \dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}. Avaliando entre 0 e 1:
A=\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}\right)-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right) = \frac{1}{2}-\frac{1}{3}.
Fazendo a subtração:
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: a área da região entre y=x e y=x^{2} no intervalo onde se cruzam é um número positivo e relativamente pequeno, \tfrac{1}{6}. Isso significa que se eu desenhasse a figura no plano cartesiano, a região entre as duas curvas de x=0 a x=1 ocupa exatamente \tfrac{1}{6} unidades quadradas. Bom trabalho — você conseguiu aplicar a ideia de Riemann sums traduzida para a integral.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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