Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões
dadas abaixo:
é a região limitada no plano e que esteja entre as curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região
limitada entre as curvas
e
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As curvas que limitam
são e . - A região
é a parte do plano contida entre essas duas curvas (fechada e limitada). - As interseções das curvas são soluções da equação
(essa equação aparece porque nos pontos de interseção os das duas curvas são iguais).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre as curvas resolvendo a equação
. Vou resolver passo a passo:
Colocando tudo do mesmo lado:
Fatorando:
Portanto as soluções são
Esses valores de
correspondem aos limites horizontais da região
: as abscissas onde as curvas se encontram são
e
.
Passo 3
Determinar qual curva está acima (maior
) e qual está abaixo no intervalo entre as interseções
. Para isso compare
e
quando
.
Tomemos um argumento algébrico: para
tem-se
porque ao multiplicar
por si mesmo diminui o valor (ex.: se
, então
e
). Logo, no intervalo aberto
vale
Nos pontos extremos
e
as duas curvas coincidem (ambas dão
e
, respectivamente). Conclusão: sobre o intervalo
, a curva superior (topo) é
e a curva inferior (fundo) é
.
Passo 4
Recordando a ideia de integrais de Riemann para área: se uma região é limitada por duas funções contínuas
(acima) e
(abaixo) entre
e
, então a área
dessa região é dada pela integral
Breve intuição (Riemann sums): partimos
em pequenos subintervalos, em cada subintervalo tomamos a diferença de alturas
e multiplicamos pela largura
; somando e fazendo o limite quando
obtemos a integral acima. Aqui a variável de integração
é a abscissa horizontal;
e
são os valores verticais das curvas.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso: os limites são
e
, a função de cima é
e a de baixo é
. Assim a área de
é
Agora calculo a integral passo a passo. Integro termo a termo:
Portanto a antiderivada de
é
. Avaliando entre
e
:
Fazendo a subtração:
Passo 6
Interpretação final e incentivo: a área da região entre
e
no intervalo onde se cruzam é um número positivo e relativamente pequeno,
. Isso significa que se eu desenhasse a figura no plano cartesiano, a região entre as duas curvas de
a
ocupa exatamente
unidades quadradas. Bom trabalho — você conseguiu aplicar a ideia de Riemann sums traduzida para a integral.