Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões R dadas abaixo:
R é a região compreendida entre as curvas y=x e y=x^{2} com -4 \leq x \leq-1.

Passo 1

O enunciado dá a região R limitada pelas curvas y=x e y=x^{2} no intervalo de x entre -4 e -1.
As informações relevantes são:
  • As duas curvas são y=x e y=x^{2}.
  • O intervalo de x que limita a região é -4 \le x \le -1.
    O que se pede: calcular a área da região R compreendida entre essas curvas no intervalo dado.

Passo 2

Precisamos saber qual curva está acima (maior y) e qual está abaixo no intervalo [-4,-1], porque a área será a integral da diferença (curva de cima menos curva de baixo). Compare as funções:
x^{2}-x = x(x-1).
Para x em [-4,-1] tem-se x<0 e x-1<0, então x(x-1)>0. Logo
x^{2}-x>0\quad\text{para todo }x\in[-4,-1].
Portanto, em [-4,-1] vale x^{2}>x, isto é, y=x^{2} está acima e y=x está abaixo.

Passo 3

Explicação didática do método (ideia de Riemann): imagina dividir o intervalo [-4,-1] em muitos subintervalos pequenos. Em cada subintervalo a região entre as curvas pode ser aproximada por um retângulo cuja altura é a diferença entre as ordenadas das curvas naquele subintervalo (valor de cima menos valor de baixo) e cuja largura é o comprimento do subintervalo. Somando as áreas desses retângulos e fazendo o limite quando a largura máxima dos subintervalos vai para zero, obtém-se a integral definida da diferença entre as funções. Assim a área exata é dada pela integral
\text{Área}=\int_{-4}^{-1}\bigl(\text{topo}-\text{fundo}\bigr)\,dx=\int_{-4}^{-1}\bigl(x^{2}-x\bigr)\,dx.Á

Passo 4

Escrevendo explicitamente a integral que vamos calcular:
\text{Área}=\int_{-4}^{-1}\bigl(x^{2}-x\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Calcular a primitiva (antiderivada) do integrando aplicando a regra do poder: para x^{n} a primitiva é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Assim,
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Como o integrando é x^{2}-x, uma primitiva conveniente é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}.

Passo 6

Avaliar a integral definida usando a primitiva F:
\int_{-4}^{-1}\bigl(x^{2}-x\bigr)\,dx=F(-1)-F(-4).
Calcule F(-1):
F(-1)=\frac{(-1)^{3}}{3}-\frac{(-1)^{2}}{2}=-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}.
Colocando em denominador comum 6:
F(-1)=-\frac{2}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{5}{6}.
Calcule F(-4):
F(-4)=\frac{(-4)^{3}}{3}-\frac{(-4)^{2}}{2}=\frac{-64}{3}-\frac{16}{2}=\frac{-64}{3}-8.
Colocando em denominador comum 3:
F(-4)=-\frac{64}{3}-\frac{24}{3}=-\frac{88}{3}.
Agora a diferença:
F(-1)-F(-4)=-\frac{5}{6}-\Bigl(-\frac{88}{3}\Bigr)=-\frac{5}{6}+\frac{88}{3}.
Passando tudo para denominador 6:
-\frac{5}{6}+\frac{176}{6}=\frac{171}{6}.
Simplificando \dfrac{171}{6} dividindo por 3:
\frac{171}{6}=\frac{57}{2}.

Passo 7

Interpretação final: a área da região R é um número positivo \dfrac{57}{2}. Isso corresponde à soma (no sentido do limite de Riemann) das pequenas áreas verticais entre as curvas desde x=-4 até x=-1. Bom trabalho — esse é o procedimento que funciona na prova: identificar topo/fundo, montar \int (topo-fundo)\,dx, achar primitiva e avaliar entre os limites.

Resposta

\dfrac{57}{2}

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