Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões
dadas abaixo:
R é a região compreendida entre as curvas
e
com
.
R é a região compreendida entre as curvas
Passo 1
O enunciado dá a região
limitada pelas curvas
e
no intervalo de
entre
e
.
As informações relevantes são:
As informações relevantes são:
- As duas curvas são
e . - O intervalo de
que limita a região é .
O que se pede: calcular a área da regiãocompreendida entre essas curvas no intervalo dado.
Passo 2
Precisamos saber qual curva está acima (maior
) e qual está abaixo no intervalo
, porque a área será a integral da diferença (curva de cima menos curva de baixo). Compare as funções:
Para
em
tem-se
e
, então
. Logo
Portanto, em
vale
, isto é,
está acima e
está abaixo.
Passo 3
Explicação didática do método (ideia de Riemann): imagina dividir o intervalo
em muitos subintervalos pequenos. Em cada subintervalo a região entre as curvas pode ser aproximada por um retângulo cuja altura é a diferença entre as ordenadas das curvas naquele subintervalo (valor de cima menos valor de baixo) e cuja largura é o comprimento do subintervalo. Somando as áreas desses retângulos e fazendo o limite quando a largura máxima dos subintervalos vai para zero, obtém-se a integral definida da diferença entre as funções. Assim a área exata é dada pela integral
Passo 4
Escrevendo explicitamente a integral que vamos calcular:
Passo 5
Calcular a primitiva (antiderivada) do integrando aplicando a regra do poder: para
a primitiva é
. Assim,
Como o integrando é
, uma primitiva conveniente é
Passo 6
Avaliar a integral definida usando a primitiva
:
Calcule
:
Colocando em denominador comum
:
Calcule
:
Colocando em denominador comum
:
Agora a diferença:
Passando tudo para denominador
:
Simplificando
dividindo por
:
Passo 7
Interpretação final: a área da região
é um número positivo
. Isso corresponde à soma (no sentido do limite de Riemann) das pequenas áreas verticais entre as curvas desde
até
. Bom trabalho — esse é o procedimento que funciona na prova: identificar topo/fundo, montar
, achar primitiva e avaliar entre os limites.