Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões R dadas abaixo:
R é a região delimitada pelas curvas y=\cos x, y=0 \operatorname{com}-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado dá a região R limitada pelas curvas y=\cos x e y=0 no intervalo -\dfrac{\pi}{2}\le x\le \dfrac{\pi}{2}. A pergunta é: calcular a área da região R.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A borda superior da região é a curva y=\cos x.
  • A borda inferior é a reta y=0.
  • O intervalo em x é \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
  • Pede-se a área da região limitada por essas curvas sobre esse intervalo.

Passo 2

Ideia geral (intuição e Riemann): para calcular a área entre duas curvas y=f(x) (acima) e y=g(x) (abaixo) no intervalo [a,b], dividimos o intervalo em muitos subintervalos, aproximamos a área por retângulos cuja altura é f(x_i^*)-g(x_i^*) em um ponto de amostragem x_i^* do subintervalo, e somamos as áreas desses retângulos. Formalmente, com uma partição a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b e \Delta x_i=x_i-x_{i-1}, o somatório de Riemann aproximador é
S_n=\sum_{i=1}^{n}\bigl(f(x_i^*)-g(x_i^*)\bigr)\,\Delta x_i.
A área exata é o limite desses somatórios quando a malha da partição tende a zero:
\text{Área}=\lim_{\max\Delta x_i\to0} S_n=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui expliquei o que cada símbolo significa:
  • a,b são os extremos do intervalo em x.
  • x_i são os pontos de partição.
  • \Delta x_i é a largura do i-ésimo subintervalo.
  • x_i^* é um ponto qualquer dentro do i-ésimo subintervalo (amostragem).
  • f(x)-g(x) é a altura do retângulo aproximador.
  • O limite dos somatórios é a integral definida.
No exame, este é o procedimento: identificar qual função está por cima, formar \int (\,\text{topo} - \text{fundo}\,)\,dx e calcular a integral.

Passo 3

Identificar topo e fundo para este problema: precisamos ver qual curva fica acima no intervalo dado.
  • Para x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] sabe-se que \cos x\ge 0 (pois \cos\bigl(\pm\dfrac{\pi}{2}\bigr)=0 e \cos 0=1, e a função é contínua). Logo \cos x é a borda superior e y=0 é a borda inferior.
  • Assim a altura em cada x é \cos x-0=\cos x.
Portanto a área pedida é
\text{Área}=\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos x\,dx.Á

Passo 4

Justificativa de integrabilidade e escolha da primitiva: a função \cos x é contínua em todo \mathbb{R}, então é integrável em qualquer intervalo; por isso a integral acima existe. Para calcular a integral definida usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
No nosso caso, uma primitiva de f(x)=\cos x é F(x)=\sin x, porque a derivada de \sin x é \cos x (isto é, F'(x)=\cos x). Aqui, cada símbolo significa:
  • F é uma função cuja derivada é f.
  • a e b são os limites de integração.

Passo 5

Aplicar a primitiva e avaliar nos limites:
\text{Área}=\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos x\,dx = \sin x \Big|_{x=-\tfrac{\pi}{2}}^{x=\tfrac{\pi}{2}}.Á
Calcule os valores:
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,\qquad \sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=-1.
Portanto
\text{Área}=1-(-1)=2.Á

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova: a área positiva 2 corresponde à região simétrica em torno do eixo y (função ímpar da primitiva), então muitas vezes ao integrar funções pares em [-a,a] pode-se usar a propriedade \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx quando f é par; aqui \cos x é par, então daria \text{Área}=2\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos x\,dx=2[\sin x]_0^{\tfrac{\pi}{2}}=2(1-0)=2Á. Na prova: identificar topo/fundo, montar a integral, achar primitiva e avaliar os limites — esse é o caminho.

Resposta

2

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