Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões
dadas abaixo:
e
.
Passo 1
O enunciado dá a região
A pergunta é: calcular a área da região
.
Passo 2
Ideia geral (construção pelo integral de Riemann). Se, num intervalo
, tivermos duas funções contínuas
e
com
para todo
, então a área da região entre elas é
Essa fórmula vem da ideia de soma de Riemann: dividir
em fatias de largura
, aproximar a altura em cada fatia por
, somar
e tomar limite quando
. Importante: a fórmula só vale quando a função superior
é realmente maior ou igual à inferior
em todo o intervalo.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso, a função superior proposta é
e a inferior é
; portanto devemos verificar o sinal de
em
. Uma forma prática de analisar o sinal é usar a identidade trigonométrica
Para
temos
, e em esse intervalo
, com igualdade apenas em
. Logo
com igualdade somente em
.
Passo 4
Interpretação do resultado do passo anterior: para todo
temos
, isto é, a desigualdade dada no enunciado
é impossível (o limite inferior seria maior que o superior), portanto não há pontos
da região nesses
. Em
as duas curvas coincidem (
), e a desigualdade admite apenas o único ponto
Portanto a região
é formada por esse único ponto (ou vista de outra forma,
é vazia em termos de área positiva).
Passo 5
Qual a área de um único ponto no plano? A área de um conjunto com dimensão zero (um ponto) é
. Outra forma de ver: a fórmula de área via integral não se aplica porque não existe intervalo em que
estritamente (exceto no ponto isolado); se alguém calculasse
obteria um valor negativo (o que indica que a ordem das funções está invertida e confirma que não há área positiva definida por aquela desigualdade). Para registro:
mas esse número não representa área da região dada (pois a região não satisfaz
no intervalo).
Passo 6
Portanto a área da região
é
. Força aí — às vezes a resposta é curta, mas perceber esse detalhe é exatamente o que cai na prova!