Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões R dadas abaixo:
R=\left\{(x, y) ; \cos x \leq y \leq \operatorname{sen} x\right. e \left.0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá a região
R=\{(x,y)\mid \cos x \le y \le \sin x,\;0\le x\le \tfrac{\pi}{4}\}.
A pergunta é: calcular a área da região R.

Passo 2

Ideia geral (construção pelo integral de Riemann). Se, num intervalo [a,b], tivermos duas funções contínuas f(x) e g(x) com f(x)\le g(x) para todo x\in[a,b], então a área da região entre elas é
\text{área}=\int_{a}^{b}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx.á
Essa fórmula vem da ideia de soma de Riemann: dividir [a,b] em fatias de largura \Delta x, aproximar a altura em cada fatia por g(x_i)-f(x_i), somar (g-f)(x_i)\Delta x e tomar limite quando \Delta x\to0. Importante: a fórmula só vale quando a função superior g é realmente maior ou igual à inferior f em todo o intervalo.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso, a função superior proposta é \sin x e a inferior é \cos x; portanto devemos verificar o sinal de
\sin x-\cos x
em [0,\tfrac{\pi}{4}]. Uma forma prática de analisar o sinal é usar a identidade trigonométrica
\sin x-\cos x=\sqrt{2}\,\sin\!\bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Para x\in[0,\tfrac{\pi}{4}] temos x-\tfrac{\pi}{4}\in[-\tfrac{\pi}{4},0], e em esse intervalo \sin\!(x-\tfrac{\pi}{4})\le 0, com igualdade apenas em x=\tfrac{\pi}{4}. Logo
\sin x-\cos x \le 0\quad\text{em }[0,\tfrac{\pi}{4}],
com igualdade somente em x=\tfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior: para todo x\in[0,\tfrac{\pi}{4}) temos \sin x<\cos x, isto é, a desigualdade dada no enunciado \cos x\le y\le\sin x é impossível (o limite inferior seria maior que o superior), portanto não há pontos (x,y) da região nesses x. Em x=\tfrac{\pi}{4} as duas curvas coincidem ( \sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}), e a desigualdade admite apenas o único ponto
\Bigl(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr).
Portanto a região R é formada por esse único ponto (ou vista de outra forma, R é vazia em termos de área positiva).

Passo 5

Qual a área de um único ponto no plano? A área de um conjunto com dimensão zero (um ponto) é 0. Outra forma de ver: a fórmula de área via integral não se aplica porque não existe intervalo em que \cos x\le\sin x estritamente (exceto no ponto isolado); se alguém calculasse
\int_{0}^{\pi/4}\bigl(\sin x-\cos x\bigr)\,dx
obteria um valor negativo (o que indica que a ordem das funções está invertida e confirma que não há área positiva definida por aquela desigualdade). Para registro:
\int_{0}^{\pi/4}\bigl(\sin x-\cos x\bigr)\,dx=\bigl[-\cos x-\sin x\bigr]_{0}^{\pi/4}=1-\sqrt{2}<0,
mas esse número não representa área da região dada (pois a região não satisfaz \cos x\le\sin x no intervalo).

Passo 6

Portanto a área da região R é 0. Força aí — às vezes a resposta é curta, mas perceber esse detalhe é exatamente o que cai na prova!

Resposta

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