Considere a soma geral dada abaixo:
s_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{3}}
Sobre a sequência acima foram feitas as seguintes afirmações:
I. Toda sequência é representada por um conjunto finito de termos, os quais são indicados pela variável k na expressão dada.
II. Quando uma sequência apresentar um intervalo de soma infinito, dizemos que se trata de uma série.
III. As sequências são formadas por termos que dependem de uma fórmula geral ou lei geral de formação.

Passo 1

O enunciado dá a soma parcial
s_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{3}}
e pede para analisar a veracidade das afirmações I, II e III abaixo:
I. Toda sequência é representada por um conjunto finito de termos, os quais são indicados pela variável k na expressão dada.
II. Quando uma sequência apresentar um intervalo de soma infinito, dizemos que se trata de uma série.
III. As sequências são formadas por termos que dependem de uma fórmula geral ou lei geral de formação.
Listei acima exatamente o que o enunciado fornece e as três afirmações que devemos julgar. A partir daqui vou explicar os conceitos necessários e aplicar ao caso concreto.

Passo 2

O que é uma sequência? Uma sequência é um arranjo ordenado de termos a_1,a_2,a_3,\dots. Normalmente pensamos em sequências infinitas (uma lista que continua indefinidamente), mas também é possível ter sequências finitas em situações concretas. O ponto importante é que uma sequência é definida por um termo geral a_n (ou por uma regra que permite obter cada termo dado o índice n). Exemplo concreto: a sequência \left(\frac{1}{n^3}\right)_{n=1}^{\infty} tem termo geral a_n=\frac{1}{n^3}.

Passo 3

O que significa a notação de soma \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{3}}? Aqui temos um índice de soma k que percorre os inteiros de 1 até n. Para cada k avaliamos o termo \frac{1}{k^3} e somamos esses termos. Portanto s_n é o n-ésimo termo da sequência dos somatórios parciais (chamada sequência de somas parciais) dado por
s_n = \frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{n^3}.
Importante: o fato de s_n usar uma soma até n mostra que cada s_n é uma soma finita, mas a sequência (s_n) em si (variando n) normalmente é considerada para todos n naturais, formando uma sequência (frequentemente infinita) de valores.

Passo 4

Analisando a afirmação I: “Toda sequência é representada por um conjunto finito de termos…” — isso está incorreto em termos gerais. A definição padrão de sequência (em cálculo/análise) refere-se normalmente a uma sequência infinita de termos a_1,a_2,a_3,\dots. Existem sequências finitas, sim, em contextos discretos, mas não se pode afirmar que “toda sequência” é finita. Além disso a variável k na expressão \sum_{k=1}^n é o índice da soma (não está provando que toda sequência é finita). Conclusão: a afirmação I é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação II: “Quando uma sequência apresentar um intervalo de soma infinito, dizemos que se trata de uma série.” Aqui convém explicar melhor o termo série. Dada uma sequência de termos (a_k), a série associada é a soma dos termos dessa sequência. Se formos somar infinitamente muitos termos escrevemos
\sum_{k=1}^{\infty} a_k,
e isso é chamado de série (infinita). A série é estudada através das somas parciais s_n=\sum_{k=1}^n a_k e dizemos que a série converge se a sequência (s_n) das somas parciais converge quando n\to\infty. Portanto a ideia da afirmação II está correta: quando a soma envolve infinitos termos falamos de série (infinita). Conclusão: a afirmação II é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmação III: “As sequências são formadas por termos que dependem de uma fórmula geral ou lei geral de formação.” Isso é basicamente a definição de sequência na maioria dos cursos: uma sequência é dada por um termo geral a_n (uma fórmula que permite calcular cada termo a partir do índice n), ou por uma regra de formação equivalente. Exemplos: a_n=\frac{1}{n^3} (sequência indicada no enunciado), b_n=(-1)^n, c_n=n^2+1. Portanto a afirmação III é verdadeira.

Passo 7

Resumo final da análise lógica:
  • I é falsa (não se pode afirmar que toda sequência é finita).
  • II é verdadeira (soma infinita de termos de uma sequência chama-se série).
  • III é verdadeira (sequências normalmente têm um termo geral/lei de formação).

Resposta

Apenas II e III são verdadeiras.

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