Considere a soma geral dada abaixo:
Sobre a sequência acima foram feitas as seguintes afirmações:
I. Toda sequência é representada por um conjunto finito de termos, os quais são indicados pela variável k na expressão dada.
II. Quando uma sequência apresentar um intervalo de soma infinito, dizemos que se trata de uma série.
III. As sequências são formadas por termos que dependem de uma fórmula geral ou lei geral de formação.
I. Toda sequência é representada por um conjunto finito de termos, os quais são indicados pela variável k na expressão dada.
II. Quando uma sequência apresentar um intervalo de soma infinito, dizemos que se trata de uma série.
III. As sequências são formadas por termos que dependem de uma fórmula geral ou lei geral de formação.
Passo 1
O enunciado dá a soma parcial
e pede para analisar a veracidade das afirmações I, II e III abaixo:
I. Toda sequência é representada por um conjunto finito de termos, os quais são indicados pela variável
na expressão dada.
II. Quando uma sequência apresentar um intervalo de soma infinito, dizemos que se trata de uma série.
III. As sequências são formadas por termos que dependem de uma fórmula geral ou lei geral de formação.
Listei acima exatamente o que o enunciado fornece e as três afirmações que devemos julgar. A partir daqui vou explicar os conceitos necessários e aplicar ao caso concreto.
Passo 2
O que é uma sequência? Uma sequência é um arranjo ordenado de termos
. Normalmente pensamos em sequências infinitas (uma lista que continua indefinidamente), mas também é possível ter sequências finitas em situações concretas. O ponto importante é que uma sequência é definida por um termo geral
(ou por uma regra que permite obter cada termo dado o índice
). Exemplo concreto: a sequência
tem termo geral
.
Passo 3
O que significa a notação de soma
? Aqui temos um índice de soma
que percorre os inteiros de
até
. Para cada
avaliamos o termo
e somamos esses termos. Portanto
é o n-ésimo termo da sequência dos somatórios parciais (chamada sequência de somas parciais) dado por
Importante: o fato de
usar uma soma até
mostra que cada
é uma soma finita, mas a sequência
em si (variando
) normalmente é considerada para todos
naturais, formando uma sequência (frequentemente infinita) de valores.
Passo 4
Analisando a afirmação I: “Toda sequência é representada por um conjunto finito de termos…” — isso está incorreto em termos gerais. A definição padrão de sequência (em cálculo/análise) refere-se normalmente a uma sequência infinita de termos
. Existem sequências finitas, sim, em contextos discretos, mas não se pode afirmar que “toda sequência” é finita. Além disso a variável
na expressão
é o índice da soma (não está provando que toda sequência é finita). Conclusão: a afirmação I é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmação II: “Quando uma sequência apresentar um intervalo de soma infinito, dizemos que se trata de uma série.” Aqui convém explicar melhor o termo série. Dada uma sequência de termos
, a série associada é a soma dos termos dessa sequência. Se formos somar infinitamente muitos termos escrevemos
e isso é chamado de série (infinita). A série é estudada através das somas parciais
e dizemos que a série converge se a sequência
das somas parciais converge quando
. Portanto a ideia da afirmação II está correta: quando a soma envolve infinitos termos falamos de série (infinita). Conclusão: a afirmação II é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmação III: “As sequências são formadas por termos que dependem de uma fórmula geral ou lei geral de formação.” Isso é basicamente a definição de sequência na maioria dos cursos: uma sequência é dada por um termo geral
(uma fórmula que permite calcular cada termo a partir do índice
), ou por uma regra de formação equivalente. Exemplos:
(sequência indicada no enunciado),
,
. Portanto a afirmação III é verdadeira.
Passo 7
Resumo final da análise lógica:
- I é falsa (não se pode afirmar que toda sequência é finita).
- II é verdadeira (soma infinita de termos de uma sequência chama-se série).
- III é verdadeira (sequências normalmente têm um termo geral/lei de formação).
Resposta
Apenas II e III são verdadeiras.