Encontre a transformada de Laplace:
h(x)= x^4, & se x<5 x^4+3 sin (x10-12), & se x >= 5

Passo 1

Beleza, temos que encontrar a transformada de Laplace da função h(x) que é definida de forma diferente para x < 5 e x >= 5 . Vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Vamos também usar propriedades de funções por partes e a transformada de funções multiplicadas por uma função degrau (ou função de Heaviside).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função h(x) de forma mais clara usando a função de Heaviside u(x) , que é 0 para x < 0 e 1 para x >= 0 . Assim, podemos expressar h(x) como:
h(x) = x^4 + u(x-5) cdot 3 sin(x10 - 12)
Isso porque para x < 5 , u(x-5) = 0 e h(x) = x^4 . Para x >= 5 , u(x-5) = 1 e h(x) = x^4 + 3 sin(x10 - 12) .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a transformada de Laplace é linear, ou seja, a transformada da soma de funções é a soma das transformadas. Então, podemos escrever:
Lh(x) = Lx^4 + 3 L u(x-5) sin(x10 - 12)

Passo 4

Vamos calcular a transformada de x^4 . Sabemos que:
Lx^n = n!s^n+1
Para n = 4 , temos:
Lx^4 = 4!s^5 = 24s^5

Passo 5

Agora, vamos calcular a transformada da segunda parte, que envolve a função de Heaviside. Usamos a propriedade de que:
Lu(x-a)f(x-a) = e^-as Lf(x)
Aqui, a = 5 e f(x) = 3 sin(x10 - 12) . Vamos reescrever f(x) :
f(x) = 3 sin(x10 - 12) = 3 sin(x-510)
Isso porque x10 - 12 = x-510 .

Passo 6

Agora, aplicamos a propriedade da transformada de Laplace para funções retardadas:
Lu(x-5) cdot 3 sin(x-510) = 3 e^-5s Lsin(x10)
Sabemos que:
Lsin(bt) = bs^2 + b^2
Aqui, b = 110 , então:
Lsin(x10) = 110s^2 + (110)^2 = 110(s^2 + 1100)

Passo 7

Substituindo de volta, temos:
3 e^-5s cdot 110(s^2 + 1100) = 3 e^-5s10(s^2 + 1100)

Resposta

A transformada de Laplace de h(x) é:
Lh(x) = 24s^5 + 3 e^-5s10(s^2 + 1100)

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