Use integral dupla para calcular:
a área regiāo R , sendo
; abaixo de
e acima do eixo X}).
a área regiāo R , sendo
Passo 1
O enunciado pede a área da região
definida por pontos
que estão abaixo de
, abaixo de
e acima do eixo
(ou seja,
). Em forma curta:
-
Curvas dadas:
- reta:
- parábola:
- eixo
:
- reta:
-
Pedido: calcular a área de
.
Passo 2
Vamos achar os pontos relevantes (interseções entre as curvas e com o eixo
).
Interseção entre reta e parábola:
Logo a interseção é em
. O ponto é
porque
.
Interseções com o eixo
:
- Para a reta:
. - Para a parábola:
ou .
Passo 3
Precisamos saber qual curva determina o teto da região (o valor máximo de
permitido) porque a região é “abaixo de ambas”. Para cada
o teto é
.
Calcule a diferença:
Isto mostra que para todo
vale
, com igualdade só em
. Portanto a parábola
está sempre abaixo (ou coincide em
) da reta. Assim a condição "abaixo de
e de
" reduz-se a "abaixo de
".
Além disso a parábola é não negativa só no intervalo entre suas raízes
e
. Logo a região
é precisamente
Passo 4
Expressão por integral dupla (área como integral de
sobre
):
Usando integração iterada, com fatias verticais (primeiro em
, depois em
):
Explico: para cada
fixo entre
e
,
varia de
até o teto
; integrar
dá a altura da “fatia” e integrar em
soma as fatias.
Passo 5
Calcule a integral interna:
Portanto a área reduz-se à integral simples
Passo 6
Calcule a integral:
Avaliação em
:
Colocando em denominador comum:
Avaliação em
é
. Portanto
Passo 7
Interpretação final e incentivo: concluímos que a região pedida é simplesmente a região sob a parábola entre
e
(a reta não limita mais fortemente), e a integral dupla transformou-se numa integral simples fácil de calcular. Bom trabalho — a técnica de "encontrar o teto/min e os limites em
" é justamente a chave para resolver rapidamente esse tipo de exercício na prova. Força aí!