Use integral dupla para calcular:
a área regiāo R , sendo \mathrm{R}=\left\{(x, y)\right.; abaixo de y=x+1, y=-x^{2}+3 x e acima do eixo X}).

Passo 1

O enunciado pede a área da região R definida por pontos (x,y) que estão abaixo de y=x+1, abaixo de y=-x^{2}+3x e acima do eixo x (ou seja, y\ge0). Em forma curta:
  • Curvas dadas:
    • reta: y=x+1
    • parábola: y=-x^{2}+3x
    • eixo x: y=0
  • Pedido: calcular a área de R.

Passo 2

Vamos achar os pontos relevantes (interseções entre as curvas e com o eixo x).
Interseção entre reta e parábola:
x+1 = -x^{2}+3x
\Rightarrow x^{2}-2x+1=0
\Rightarrow (x-1)^{2}=0
Logo a interseção é em x=1. O ponto é (1,2) porque y=1+1=2.
Interseções com o eixo x:
  • Para a reta: x+1=0\Rightarrow x=-1.
  • Para a parábola: -x^{2}+3x=0 \Rightarrow x( -x+3)=0 \Rightarrow x=0 ou x=3.

Passo 3

Precisamos saber qual curva determina o teto da região (o valor máximo de y permitido) porque a região é “abaixo de ambas”. Para cada x o teto é \min\{x+1,\,-x^{2}+3x\}.
Calcule a diferença:
(x+1)-(-x^{2}+3x)=x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}\ge0.
Isto mostra que para todo x vale x+1 \ge -x^{2}+3x, com igualdade só em x=1. Portanto a parábola y=-x^{2}+3x está sempre abaixo (ou coincide em x=1) da reta. Assim a condição "abaixo de y=x+1 e de y=-x^{2}+3x" reduz-se a "abaixo de y=-x^{2}+3x".
Além disso a parábola é não negativa só no intervalo entre suas raízes x=0 e x=3. Logo a região R é precisamente
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\; 0\le y\le -x^{2}+3x\}.

Passo 4

Expressão por integral dupla (área como integral de 1 sobre R):
\text{Área}(R)=\iint_{R} dA.Á
Usando integração iterada, com fatias verticais (primeiro em y, depois em x):
\text{Área}(R)=\int_{x=0}^{3}\left(\int_{y=0}^{-x^{2}+3x} dy \right)dx.Á
Explico: para cada x fixo entre 0 e 3, y varia de 0 até o teto y=-x^{2}+3x; integrar dy dá a altura da “fatia” e integrar em x soma as fatias.

Passo 5

Calcule a integral interna:
\int_{y=0}^{-x^{2}+3x} dy = \bigl[y\bigr]_{0}^{-x^{2}+3x} = -x^{2}+3x.
Portanto a área reduz-se à integral simples
\text{Área}(R)=\int_{0}^{3}\bigl(-x^{2}+3x\bigr)\,dx.Á

Passo 6

Calcule a integral:
\int_{0}^{3}\bigl(-x^{2}+3x\bigr)\,dx = \left[-\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}\right]_{0}^{3}.
Avaliação em x=3:
-\frac{3^{3}}{3}+\frac{3\cdot 3^{2}}{2} = -\frac{27}{3}+\frac{27}{2} = -9+\frac{27}{2}.
Colocando em denominador comum:
-9+\frac{27}{2} = -\frac{18}{2}+\frac{27}{2} = \frac{9}{2}.
Avaliação em x=0 é 0. Portanto
\text{Área}(R)=\frac{9}{2}.Á

Passo 7

Interpretação final e incentivo: concluímos que a região pedida é simplesmente a região sob a parábola entre x=0 e x=3 (a reta não limita mais fortemente), e a integral dupla transformou-se numa integral simples fácil de calcular. Bom trabalho — a técnica de "encontrar o teto/min e os limites em x" é justamente a chave para resolver rapidamente esse tipo de exercício na prova. Força aí!

Resposta

\dfrac{9}{2}

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