Use integral dupla para calcular:
O volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos
e
(plano vertical //
)
O volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos
e
(sendo o plano
um plano vertical paralelo ao plano
). Informações dadas e condições importantes:
- “Primeiro octante” significa que
, , . - Há um plano superior para
dado por . - Há uma parede vertical dada por
. - O enunciado pede o volume do sólido delimitado por essas superfícies e pelo primeiro octante.
Passo 2
Vamos entender geometricamente o sólido (a aula rápida antes da conta, sem pânico!). O plano
é uma superfície que, para cada
, dá a altura máxima
. Como estamos no primeiro octante, a altura real do sólido é a parte de
entre
(plano inferior fornecido pelo eixo) e
(plano superior), desde que
. Para obter volume por integral, há duas maneiras equivalentes:
- Fazer a integral tripla
com limites adequados. - Projetar o sólido no plano
e calcular a integral dupla da altura sobre essa projeção: .
Aqui usar a integral dupla é mais direto: a altura em cada pontoda base é .
Passo 3
Determinar a projeção
do sólido no plano
. As restrições são:
-
está limitado por (pela parede e pelo primeiro octante). - Para
, vem da condição . Isso implica
Também
pelo primeiro octante. Assim a projeção é o retângulo
Passo 4
Montar a integral dupla do volume usando a altura
sobre
. Como a função a integrar não depende de
, uma ordem conveniente é integrar primeiro em
e depois em
. A integral fica
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Primeiro encontramos a primitiva de
em relação a
:
Agora avaliamos de
a
:
Passo 6
Agora substituímos o resultado na integral em
. Como a integral interna deu
, temos
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida: o volume calculado é
(unidades cúbicas), o que faz sentido pois a base é um retângulo de área
e a altura média ao longo de
é
(de fato
). Portanto o resultado é consistente.
Resposta
3