Use integral dupla para calcular:
O volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos z=2-2 x e y=3 (plano vertical // x z )

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos z=2-2x e y=3 (sendo o plano y=3 um plano vertical paralelo ao plano xz). Informações dadas e condições importantes:
  • “Primeiro octante” significa que x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
  • Há um plano superior para z dado por z=2-2x.
  • Há uma parede vertical dada por y=3.
  • O enunciado pede o volume do sólido delimitado por essas superfícies e pelo primeiro octante.

Passo 2

Vamos entender geometricamente o sólido (a aula rápida antes da conta, sem pânico!). O plano z=2-2x é uma superfície que, para cada x, dá a altura máxima z. Como estamos no primeiro octante, a altura real do sólido é a parte de z entre z=0 (plano inferior fornecido pelo eixo) e z=2-2x (plano superior), desde que 2-2x\ge 0. Para obter volume por integral, há duas maneiras equivalentes:
  • Fazer a integral tripla \displaystyle \iiint_{V} 1\\ dV com limites adequados.
  • Projetar o sólido no plano xy e calcular a integral dupla da altura sobre essa projeção: \displaystyle V=\iint_{D} \bigl(\text{altura}(x,y)\bigr)\\ dA.
    Aqui usar a integral dupla é mais direto: a altura em cada ponto (x,y) da base é z_{\text{top}}-z_{\text{bottom}}= (2-2x)-0 = 2-2x.

Passo 3

Determinar a projeção D do sólido no plano xy. As restrições são:
  • y está limitado por 0\le y\le 3 (pela parede y=3 e pelo primeiro octante).
  • Para x, vem da condição z\ge 0\Rightarrow 2-2x\ge 0. Isso implica
2-2x\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\ge 2x \quad\Longrightarrow\quad x\le 1.
Também x\ge 0 pelo primeiro octante. Assim a projeção é o retângulo
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\\\ 0\le y\le 3\}.

Passo 4

Montar a integral dupla do volume usando a altura 2-2x sobre D. Como a função a integrar não depende de y, uma ordem conveniente é integrar primeiro em x e depois em y. A integral fica
V=\iint_{D} (2-2x)\,dA =\int_{y=0}^{3}\int_{x=0}^{1} (2-2x)\,dx\,dy.

Passo 5

Calcular a integral interna em x. Primeiro encontramos a primitiva de 2-2x em relação a x:
\int (2-2x)\,dx = 2x - x^{2} + C.
Agora avaliamos de x=0 a x=1:
\int_{0}^{1} (2-2x)\,dx = \bigl[2x - x^{2}\bigr]_{0}^{1} = (2\cdot 1 - 1^{2}) - (0) = 2-1 = 1.

Passo 6

Agora substituímos o resultado na integral em y. Como a integral interna deu 1, temos
V=\int_{y=0}^{3} 1\,dy = \bigl[y\bigr]_{0}^{3} = 3.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: o volume calculado é 3 (unidades cúbicas), o que faz sentido pois a base é um retângulo de área 1\cdot3=3 e a altura média ao longo de x é 1 (de fato \int_{0}^{1}(2-2x)\,dx=1). Portanto o resultado é consistente.

Resposta

3

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