- Seja
a curva interseção das superfícies
,
e
, que liga o ponto
ao ponto
.
a. Esboce
.
b. Parametrize
.
c. Calcule
.
a. Esboce
b. Parametrize
c. Calcule
Passo 1
O enunciado dá a curva
definida como interseção das superfícies
e diz que
liga os pontos
As perguntas são:
a. Esboçar .
b. Parametrizar .
c. Calcular .
a. Esboçar
b. Parametrizar
c. Calcular
Informações relevantes fornecidas:
- A esfera de raio
centrada na origem: . - O plano
(passa pela origem). - A interseção com
restringe-nos à “metade superior” dessa curva. - Coordenadas dos pontos
e (úteis para fixar os parâmetros da parametrização).
Passo 2
Entender geometricamente a curva: substituir
na equação da esfera para ver a forma da interseção em coordenadas
e
.
implica
Isto é uma equação de círculo quando expressa em coordenada adequada do plano
. Para ver isso de forma clara, defina a coordenada ao longo da direção
do plano
:
Como
temos
, ou seja
. Substituindo na equação
obtemos
que é um círculo de raio
no plano coordenado por
. Como o plano passa pela origem, é um círculo centrado na origem do plano; a condição
corresponde à metade superior desse círculo (um arco semicircular dentro do plano). Portanto
é um arco de círculo (um setor da semicircunferência superior) no plano
ligando
a
.
Passo 3
Escolher uma parametrização natural: usar um parâmetro angular
para o círculo em coordenadas
. Como
, tome
Recordando que
, obtemos
Logo uma parametrização conveniente é
Agora determinar o intervalo de
que dá o arco de
até
com
:
- Para
temos e , isto é , logo . - Para
temos e . Assim e , o que corresponde a (no primeiro quadrante, e confirma).
Portanto tomevariando de a . Esta parametrização vai de a e respeita .
Passo 4
Explicar a fórmula que usaremos para a integral de linha com elementos de comprimento: para uma curva parametrizada por
,
,
e assim
Aqui
é a primeira componente de
.
Passo 5
Calcular
, seu módulo e montar a integral:
Derivando componente a componente,
Calcule o módulo ao quadrado:
Portanto
A componente
é
, logo
Assim a integral torna-se
Passo 6
Calcular a integral usando a identidade
:
Integre termo a termo:
Resposta
(a) Arco do círculo de interseção entre a esfera
e o plano
, correspondente à semicircunferência superior (
) que vai de
a
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)