1. Seja C a curva interseção das superfícies x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, z \geq 0 e y=x, que liga o ponto A=(\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0) ao ponto B=(1,1, \sqrt{2}).
    a. Esboce C.
    b. Parametrize C.
    c. Calcule \int_{C} x^{2} d s.

Passo 1

O enunciado dá a curva C definida como interseção das superfícies
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,\qquad z\ge 0,\qquad y=x,
e diz que C liga os pontos
A=(\sqrt{2},\sqrt{2},0),\qquad B=(1,1,\sqrt{2}).
As perguntas são:
a. Esboçar C.
b. Parametrizar C.
c. Calcular \displaystyle \int_{C} x^{2}\,d s.
Informações relevantes fornecidas:
  • A esfera de raio 2 centrada na origem: \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
  • O plano y=x (passa pela origem).
  • A interseção com z\ge0 restringe-nos à “metade superior” dessa curva.
  • Coordenadas dos pontos A e B (úteis para fixar os parâmetros da parametrização).

Passo 2

Entender geometricamente a curva: substituir y=x na equação da esfera para ver a forma da interseção em coordenadas x e z.
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\quad\text{com}\quad y=x
implica
2x^{2}+z^{2}=4.
Isto é uma equação de círculo quando expressa em coordenada adequada do plano y=x. Para ver isso de forma clara, defina a coordenada ao longo da direção u=(1,1,0)/\sqrt{2} do plano y=x:
u=\frac{x+y}{\sqrt{2}}.
Como y=x temos u=\frac{2x}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\,x, ou seja x=\frac{u}{\sqrt{2}}. Substituindo na equação 2x^{2}+z^{2}=4 obtemos
u^{2}+z^{2}=4,
que é um círculo de raio 2 no plano coordenado por (u,z). Como o plano passa pela origem, é um círculo centrado na origem do plano; a condição z\ge 0 corresponde à metade superior desse círculo (um arco semicircular dentro do plano). Portanto C é um arco de círculo (um setor da semicircunferência superior) no plano y=x ligando A a B.

Passo 3

Escolher uma parametrização natural: usar um parâmetro angular t para o círculo em coordenadas (u,z). Como u^{2}+z^{2}=4, tome
u(t)=2\cos t,\qquad z(t)=2\sin t.
Recordando que x=y=\dfrac{u}{\sqrt{2}}, obtemos
x(t)=y(t)=\frac{u(t)}{\sqrt{2}}=\frac{2\cos t}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\cos t.
Logo uma parametrização conveniente é
\mathbf{r}(t)=\bigl(\sqrt{2}\cos t,\;\sqrt{2}\cos t,\;2\sin t\bigr).
Agora determinar o intervalo de t que dá o arco de A até B com z\ge0:
  • Para A=(\sqrt{2},\sqrt{2},0) temos \sqrt{2}\cos t=\sqrt{2} e 2\sin t=0, isto é \cos t=1,\\ \sin t=0, logo t=0.
  • Para B=(1,1,\sqrt{2}) temos \sqrt{2}\cos t=1 e 2\sin t=\sqrt{2}. Assim \cos t=\dfrac{1}{\sqrt{2}} e \sin t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, o que corresponde a t=\dfrac{\pi}{4} (no primeiro quadrante, e z\ge0 confirma).
    Portanto tome t variando de 0 a \dfrac{\pi}{4}. Esta parametrização vai de A a B e respeita z\ge0.

Passo 4

Explicar a fórmula que usaremos para a integral de linha com elementos de comprimento: para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), t\in[a,b],
d s = \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert\,d t,
e assim
\int_{C} x^{2}\,d s = \int_{a}^{b} \bigl(x(t)\bigr)^{2}\,\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert\,d t.
Aqui x(t) é a primeira componente de \mathbf{r}(t).

Passo 5

Calcular \mathbf{r}'(t), seu módulo e montar a integral:
\mathbf{r}(t)=\bigl(\sqrt{2}\cos t,\;\sqrt{2}\cos t,\;2\sin t\bigr).
Derivando componente a componente,
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-\sqrt{2}\sin t,\;-\sqrt{2}\sin t,\;2\cos t\bigr).
Calcule o módulo ao quadrado:
\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert^{2}=(-\sqrt{2}\sin t)^{2}+(-\sqrt{2}\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2} =2\sin^{2}t+2\sin^{2}t+4\cos^{2}t =4(\sin^{2}t+\cos^{2}t)=4.
Portanto
\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert=2\quad\text{(constante)}.
A componente x(t) é x(t)=\sqrt{2}\cos t, logo
\bigl(x(t)\bigr)^{2}=2\cos^{2}t.
Assim a integral torna-se
\int_{C} x^{2}\,d s = \int_{0}^{\pi/4} \bigl(2\cos^{2}t\bigr)\cdot 2\,d t = \int_{0}^{\pi/4} 4\cos^{2}t\,d t.

Passo 6

Calcular a integral usando a identidade \cos^{2}t=\dfrac{1+\cos 2t}{2}:
\int_{0}^{\pi/4} 4\cos^{2}t\,d t =4\int_{0}^{\pi/4}\frac{1+\cos 2t}{2}\,d t =2\int_{0}^{\pi/4}\bigl(1+\cos 2t\bigr)\,d t.
Integre termo a termo:
2\Bigl[ t + \frac{1}{2}\sin 2t\Bigr]_{0}^{\pi/4} =2\Bigl(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2}-0-0\Bigr) =2\Bigl(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\Bigr) =\frac{\pi}{2}+1.

Resposta

(a) Arco do círculo de interseção entre a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e o plano y=x, correspondente à semicircunferência superior ( z\ge0) que vai de A a B.
(b) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\bigl(\sqrt{2}\cos t,\;\sqrt{2}\cos t,\;2\sin t\bigr),\quad 0\le t\le \dfrac{\pi}{4}.
(c) \displaystyle \int_{C} x^{2}\,d s = \frac{\pi}{2}+1.

Exercícios relacionados