Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido W limitado por:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido limitado por algumas superfícies usando uma integral dupla. Os limites são:
Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla para encontrar o volume entre essas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as projeções das superfícies no plano
. Como
define uma reta, e
é o eixo
, nossa região de integração no plano
será um triângulo limitado por essas linhas.
Passo 3
Determinar os limites de integração é crucial. Para
, ele varia de 0 até onde a reta
intercepta o eixo
, que é quando
, então
vai de 0 a 9. Para
, em cada
, ele vai de 0 até
.
Passo 4
Agora, vamos expressar a função
que descreve a altura do sólido. A parte de cima é dada por
e a base por
. Então, a altura do sólido em cada ponto será
.
Passo 5
Montando a integral dupla para o volume
, temos:
Aqui, estamos integrando a altura
sobre a área da base no plano
.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 8
Vamos simplificar e calcular a integral:
Passo 9
Integrando termo a termo:
Substituindo
:
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido
��
unidades cúbicas.