Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido W limitado por: x=0, z=0, x+y=9 e z = 9 - y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido limitado por algumas superfícies usando uma integral dupla. Os limites são:
Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla para encontrar o volume entre essas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as projeções das superfícies no plano . Como define uma reta, e é o eixo , nossa região de integração no plano será um triângulo limitado por essas linhas.

Passo 3

Determinar os limites de integração é crucial. Para , ele varia de 0 até onde a reta intercepta o eixo , que é quando , então vai de 0 a 9. Para , em cada , ele vai de 0 até .

Passo 4

Agora, vamos expressar a função que descreve a altura do sólido. A parte de cima é dada por e a base por . Então, a altura do sólido em cada ponto será .

Passo 5

Montando a integral dupla para o volume , temos:
Aqui, estamos integrando a altura sobre a área da base no plano .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Passo 8

Vamos simplificar e calcular a integral:

Passo 9

Integrando termo a termo:
Substituindo :
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:

Resposta

O volume do sólido �� unidades cúbicas.

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