Use a integral dupla para determinar a área contida em um laço da rosácea de quatro pétalas
. Esboce a regiāo de integração.
Passo 1
O enunciado pede a área de um único laço da rosácea de quatro pétalas definida em coordenadas polares por
O conteúdo que vamos usar é a fórmula de área em coordenadas polares, ou seja
Passo 2
Precisamos descobrir para que valores de
a pétala está “aberta”, isto é, onde
. Como
esse é o intervalo angular que descreve um laço. O esboço é uma pétala simétrica em torno de
, com ponta em
quando
e racha em
em
.
Passo 3
Aplicando a fórmula da área em polares ao laço, temos
Passo 4
Primeiro fazemos a integral interna em
:
Passo 5
Substituindo na integral sobre
:
Passo 6
Para calcular
usamos a identidade
. Assim
Como
, sobra
Resposta
A área de um laço da rosácea
é
.