Use a integral dupla para determinar a área contida em um laço da rosácea de quatro pétalas r=cos 29. Esboce a regiāo de integração.

Passo 1

O enunciado pede a área de um único laço da rosácea de quatro pétalas definida em coordenadas polares por
r = cos(2theta)
O conteúdo que vamos usar é a fórmula de área em coordenadas polares, ou seja
A = integral duplaR dA = integraltheta=alpha^betaintegralr=0^r(theta) r,dr,dtheta

Passo 2

Precisamos descobrir para que valores de theta a pétala está “aberta”, isto é, onde r>=0. Como
cos(2theta)>=0 Longrightarrow -,pi4<=theta<=pi4,
esse é o intervalo angular que descreve um laço. O esboço é uma pétala simétrica em torno de theta=0, com ponta em r=1 quando theta=0 e racha em r=0 em theta=pmpi/4.

Passo 3

Aplicando a fórmula da área em polares ao laço, temos
A = integral-pi/4^pi/4integral0^cos(2theta) r,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro fazemos a integral interna em r:
integral0^cos(2theta) r,dr = [r^22]0^cos(2theta) = 12,cos^2(2theta)

Passo 5

Substituindo na integral sobre theta:
A = integral-pi/4^pi/4 12,cos^2(2theta),dtheta = 12integral-pi/4^pi/4cos^2(2theta),dtheta

Passo 6

Para calcular integralcos^2(2theta),dtheta usamos a identidade
cos^2u = tfrac1+cos(2u)2. Assim
A = 12integral-pi/4^pi/41+cos(4theta)2,dtheta = 14integral-pi/4^pi/4l(1+cos(4theta)r)dtheta = 14l[theta + sin(4theta)4r]-pi/4^pi/4
Como sin(pi)=sin(-pi)=0, sobra
A = 14l(tfracpi4-(-tfracpi4)r) = 14cdotpi2 = pi8

Resposta

A área de um laço da rosácea r=cos(2theta) é pi8.

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