Use uma integral dupla para determinar a área da menor região limitada pela espiral r theta=1, pelos círculos r=1 e r=3, e pelo eixo polar

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede e identificar os conceitos que vamos usar. Precisamos determinar a área da menor região delimitada pela espiral $ r\theta = 1 $, pelos círculos $ r = 1 $ e $ r = 3 $, e pelo eixo polar (que é quando $ \theta = 0 $). Para resolver isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares, que são úteis para calcular áreas em regiões circulares ou espirais.

Passo 2

Vamos entender melhor as curvas que delimitam a região:
  1. Espiral: $ r\theta = 1 $ pode ser reescrita como $ r = \frac{1}{\theta} $. Esta é uma espiral que se aproxima do eixo polar conforme $ \theta $ aumenta.
  2. Círculos: Temos dois círculos com raios fixos, $ r = 1 $ e $ r = 3 $.
  3. Eixo polar: Representa $ \theta = 0 $.
Precisamos encontrar os pontos de interseção entre essas curvas para determinar os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar onde a espiral $ r = \frac{1}{\theta} $ intersecta os círculos $ r = 1 $ e $ r = 3 $:
  1. Interseção com $ r = 1 $: r = 1theta
  2. Interseção com $ r = 3 $: r = 1
Então, a espiral intersecta o círculo $ r = 1 $ quando $ \theta = 1 $ e o círculo $ r = 3 $ quando $ \theta = \frac{1}{3} $.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. A região que queremos está limitada entre $ \theta = \frac{1}{3} $ e $ \theta = 1 $.
Para cada valor de $ \theta $ nesse intervalo, $ r $ varia entre a espiral $ r = \frac{1}{\theta} $ e o círculo $ r = 3 $. No entanto, quando $ \theta $ varia de 0 a $ \frac{1}{3} $, $ r $ varia de 1 a 3.
Então, precisamos dividir a integral em duas partes:
  1. De $ \theta = 0 $ a $ \theta = \frac{1}{3} $, com $ r $ variando de 1 a 3.
  2. De $ \theta = \frac{1}{3} $ a $ \theta = 1 $, com $ r $ variando de $ \frac{1}{\theta} $ a 3.

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla para calcular a área $ A $:
A
Vamos resolver cada parte separadamente.
  1. Primeira integral:
    A = integral0^13 integral1^3 r , dr , dtheta + integral13^1 integral1theta^3 r , dr , dtheta
  2. Segunda integral:
    integral0^13 integral1^3 r , dr , dtheta = integral0^13 [ 12 r^2 ]1^3 dtheta = integral0^13 ( 92 - 12 ) dtheta = integral0^13 4 , dtheta = 4 times 13 = 43
    integral13^1 integral1theta^3 r , dr , dtheta = integral13^1 [ 12 r^2 ]1theta^3 dtheta = integral13^1 ( 92 - 12theta^2 ) dtheta
    = 92 [ theta ]13^1 - 12 [ -1theta ]13^1 = 92 (1 - 13) - 12 ( -1 + 3 )

Resposta

Somando as duas partes, a área total é:
A = 43 + 2 = 103 , unidades de área á

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