Use uma integral dupla para determinar a área da menor região limitada pela espiral
, pelos círculos
e
, e pelo eixo polar
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede e identificar os conceitos que vamos usar. Precisamos determinar a área da menor região delimitada pela espiral $ r\theta = 1 $, pelos círculos $ r = 1 $ e $ r = 3 $, e pelo eixo polar (que é quando $ \theta = 0 $). Para resolver isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares, que são úteis para calcular áreas em regiões circulares ou espirais.
Passo 2
Vamos entender melhor as curvas que delimitam a região:
- Espiral: $ r\theta = 1 $ pode ser reescrita como $ r = \frac{1}{\theta} $. Esta é uma espiral que se aproxima do eixo polar conforme $ \theta $ aumenta.
- Círculos: Temos dois círculos com raios fixos, $ r = 1 $ e $ r = 3 $.
- Eixo polar: Representa $ \theta = 0 $.
Precisamos encontrar os pontos de interseção entre essas curvas para determinar os limites de integração.
Passo 3
Vamos encontrar onde a espiral $ r = \frac{1}{\theta} $ intersecta os círculos $ r = 1 $ e $ r = 3 $:
- Interseção com $ r = 1 $:
- Interseção com $ r = 3 $:
Então, a espiral intersecta o círculo $ r = 1 $ quando $ \theta = 1 $ e o círculo $ r = 3 $ quando $ \theta = \frac{1}{3} $.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. A região que queremos está limitada entre $ \theta = \frac{1}{3} $ e $ \theta = 1 $.
Para cada valor de $ \theta $ nesse intervalo, $ r $ varia entre a espiral $ r = \frac{1}{\theta} $ e o círculo $ r = 3 $. No entanto, quando $ \theta $ varia de 0 a $ \frac{1}{3} $, $ r $ varia de 1 a 3.
Então, precisamos dividir a integral em duas partes:
- De $ \theta = 0 $ a $ \theta = \frac{1}{3} $, com $ r $ variando de 1 a 3.
- De $ \theta = \frac{1}{3} $ a $ \theta = 1 $, com $ r $ variando de $ \frac{1}{\theta} $ a 3.
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla para calcular a área $ A $:
Vamos resolver cada parte separadamente.
-
Primeira integral:
-
Segunda integral:
Resposta
Somando as duas partes, a área total é: