Verifique se é exata e resolva:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata e, em caso positivo, resolver por potencial. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Exatas, e vamos precisar calcular derivadas parciais e encontrar a função potencial
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
Passo 3
Para achar
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Agora derivamos
Daí obtemos
$$
h’(y) = -3 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -3y.
\psi(x,y) = x\sin y + \frac{x^2 y^2}{2} - 3y.$$
Passo 4
A solução geral da equação diferencial exata é dada por
, com
constante.
Resposta
x \sin y + \tfrac{x^2 y^2}{2} - 3y = C