Verifique se é exata e resolva:
(sen y+x y^2) d x+(x cos y-3+y x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial (sin y + x y^2),dx + (x cos y - 3 + y x^2),dy = 0 é exata e, em caso positivo, resolver por potencial. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Exatas, e vamos precisar calcular derivadas parciais e encontrar a função potencial psi(x,y).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de M(x,y) = sin y + x y^2 em relação a y e de N(x,y) = x cos y - 3 + y x^2 em relação a x:
partial Mpartial y = cos y + 2x y,
partial Npartial x = cos y + 2x y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata. Ou seja, existe uma função psi(x,y) tal que dpsi = M,dx + N,dy.

Passo 3

Para achar psi(x,y), integramos M em relação a x, tratando y como constante:
psi(x,y) = integral (sin y + x y^2),dx = xsin y + x^2 y^22 + h(y), onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
Agora derivamos psi em relação a y e igualamos a N(x,y):
partial psipartial y = xcos y + x^2 y + h'(y) = xcos y -3 + x^2 y
Daí obtemos
$$
h’(y) = -3 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -3y. h'(y) = -3 Longrightarrow h(y) = -3yçãé\psi(x,y) = x\sin y + \frac{x^2 y^2}{2} - 3y.$$

Passo 4

A solução geral da equação diferencial exata é dada por psi(x,y) = C, com C constante.

Resposta

x \sin y + \tfrac{x^2 y^2}{2} - 3y = C

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