Exercício 1. Parametrize as curvas abaixo e faça um esboço das respectivas curvas.
x^2=4 y-2 y^2;

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a curva dada por x^2=4y-2y^2 e fazer um esboço. O conteúdo envolvido é geometria analítica de cônicas, e vamos precisar reorganizar a equação e completar o quadrado para identificar o tipo de curva.

Passo 2

Reorganizando todos os termos de um lado, temos:
x^2 + 2y^2 -4y = 0

Passo 3

Agora completamos o quadrado em y. Como 2y^2 -4y = 2l(y^2 -2yr), escrevemos:
x^2 + 2l((y-1)^2 -1r) = 0

Passo 4

x^2 + 2(y-1)^2 -2 = 0

Passo 5

Isolando para obter a forma padrão de uma elipse:
x^22 + (y-1)^2 = 1

Passo 6

Esse é o formato de uma elipse centrada em (0,1), com semieixo horizontal a=raiz2 e vertical b=1. Para parametrizar uma elipse em forma x^2a^2 + (y-y0)^2b^2=1, usamos x=acos t e y-y0=bsin t. Aplicando aqui, escolhemos
x = raiz2cos t, y - 1 = sin t,

Passo 7

ou seja
y = 1 + sin t, com t variando de 0 a 2pi.

Passo 8

Para esboçar: o centro é em (0,1). A elipse intercepta o eixo x em (pmraiz2,1) e o eixo y em (0,0) e (0,2). O eixo maior é horizontal de comprimento 2raiz2 e o menor vertical de comprimento 2.

Resposta

A parametrização é
x(t)=raiz2cos t, y(t)=1+sin t, 0<= t<2pi

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