Use integral de linha para calcular :
, onde C é o triângulo de vértices :
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o triângulo fechado com vértices
,
e
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A curva
é um triângulo fechado (fechamento pelas três arestas que ligam os vértices indicados). - Não foi especificada a orientação; quando não é dada, vou assumir orientação positiva (contraclockwise / anti-horária), que é a escolha padrão para aplicar teoremas como o de Green.
A pergunta concreta é: calcular o valor numérico da integral de linha.
Passo 2
Reconhecer se a forma diferencial é exata. Vou usar a regra do produto para diferenciais: para funções
e
,
Aplicando com
e
obtém-se
Portanto a forma diferencial
é exatamente a diferencial total de
, isto é,
Passo 3
Explicar por que isso facilita a integral. Se uma forma diferencial é a diferencial total de uma função potencial
, então a integral de linha entre dois pontos qualquer depende apenas dos valores de
nesses pontos (teorema fundamental para integrais de linha de campos conservativos). No caso de uma curva fechada
(começa e termina no mesmo ponto), a contribuição é
porque o ponto final coincide com o ponto inicial. Aqui a função potencial é
. Logo, para qualquer curva fechada
dentro de um domínio simples e sem singularidades (o plano
é ótimo),
Passo 4
Dar uma confirmação alternativa usando o Teorema de Green (reforço didático). O Teorema de Green diz que, para uma região
com fronteira positiva
,
Aqui
e
. Calculando as derivadas parciais:
logo
Assim o integrando duplo é identicamente zero em toda a região triangular
, e portanto
Essa verificação confirma o resultado obtido pelo reconhecimento de que a forma é exata.
Passo 5
Conclusão final: a integral de linha sobre o triângulo fechado
vale zero, quer se use a observação de que é uma diferencial exata, quer se use o Teorema de Green — ambos são argumentos simples e suficientes.