Use integral de linha para calcular : \int_{C} y d x+x d y, onde C é o triângulo de vértices : (0,0) ;(3,0) e(2,2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} y\,dx + x\,dy,
onde C é o triângulo fechado com vértices (0,0), (3,0) e (2,2).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A curva C é um triângulo fechado (fechamento pelas três arestas que ligam os vértices indicados).
  • Não foi especificada a orientação; quando não é dada, vou assumir orientação positiva (contraclockwise / anti-horária), que é a escolha padrão para aplicar teoremas como o de Green.
    A pergunta concreta é: calcular o valor numérico da integral de linha \int_{C} y\,dx + x\,dy.

Passo 2

Reconhecer se a forma diferencial é exata. Vou usar a regra do produto para diferenciais: para funções f e g,
d(fg)=f\,dg+g\,df.
Aplicando com f(x,y)=x e g(x,y)=y obtém-se
d(xy)=x\,dy+y\,dx.
Portanto a forma diferencial y\,dx+x\,dy é exatamente a diferencial total de xy, isto é,
y\,dx+x\,dy = d(xy).

Passo 3

Explicar por que isso facilita a integral. Se uma forma diferencial é a diferencial total de uma função potencial F(x,y), então a integral de linha entre dois pontos qualquer depende apenas dos valores de F nesses pontos (teorema fundamental para integrais de linha de campos conservativos). No caso de uma curva fechada C (começa e termina no mesmo ponto), a contribuição é
\oint_C dF = F(\text{ponto final})-F(\text{ponto inicial}) = 0,
porque o ponto final coincide com o ponto inicial. Aqui a função potencial é F(x,y)=xy. Logo, para qualquer curva fechada C dentro de um domínio simples e sem singularidades (o plano \mathbb{R}^2 é ótimo),
\oint_C y\,dx + x\,dy = \oint_C d(xy) = 0.

Passo 4

Dar uma confirmação alternativa usando o Teorema de Green (reforço didático). O Teorema de Green diz que, para uma região D com fronteira positiva C=\partial D,
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui P(x,y)=y e Q(x,y)=x. Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=1,
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\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-1=0.
Assim o integrando duplo é identicamente zero em toda a região triangular D, e portanto
\oint_C y\,dx + x\,dy = \iint_D 0\,dA = 0.
Essa verificação confirma o resultado obtido pelo reconhecimento de que a forma é exata.

Passo 5

Conclusão final: a integral de linha sobre o triângulo fechado C vale zero, quer se use a observação de que é uma diferencial exata, quer se use o Teorema de Green — ambos são argumentos simples e suficientes.

Resposta

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