Use integral tripla em coordenadas cilindricas para calcular o volume do sólido compreendido dentro do cilindro
e fora do cone
…
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está “dentro do cilindro”
e “fora do cone”
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A superfície cilíndrica tem equação
, ou seja, em coordenadas polares/cilíndricas isso é . - A superfície cônica tem equação
, que em coordenadas cilíndricas é . - O enunciado não dá outras superfícies que fecham o sólido em
. Para obter um volume finito e coerente com a expressão do cone (que tem ), consideraremos o sólido limitado abaixo pelo plano (o plano ) e acima pela superfície do cone , com a restrição radial . Ou seja, o sólido é o conjunto de pontos tais que
O que se pede, portanto, é calcular o volume desse sólido.
Passo 2
Passo rápido sobre coordenadas cilíndricas (aulas em miniatura para você entender): em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis
relacionadas a
por
Aqui
é a distância ao eixo
,
é o ângulo no plano
e
é a coordenada vertical. Ao mudar de variáveis o elemento de volume
passa a ser
Explicação do
: ele vem do fator de escala ao transformar a área diferencial
em coordenadas polares:
. Isso é fundamental — sempre que usar coordenadas polares/cilíndricas lembre do
no integrando.
Passo 3
Determinar os limites de integração a partir da geometria do sólido:
- Como estamos “dentro do cilindro”
, temos . - Como o sólido está entre o plano
(inferior) e a superfície do cone (superior), temos . - Completa-se o giro completo ao redor do eixo
, então .
Portanto o volume
é dado pela integral tripla em coordenadas cilíndricas
Passo 4
Calcule a integral interna em
. Mantendo
e
fixos,
Expliquei: integrando
em relação a
é como integrar uma constante
em
; o resultado é
vezes a largura do intervalo em
, que é
.
Passo 5
Agora a integral em
:
Detalhe: apliquei a primitiva de
, que é
, e avaliei nos limites.
Passo 6
Finalmente a integral em
:
Pronto — esse é o volume do sólido considerado.