Use integral tripla em coordenadas cilindricas para calcular o volume do sólido compreendido dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=9 e fora do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está “dentro do cilindro” x^{2}+y^{2}=9 e “fora do cone” z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície cilíndrica tem equação x^{2}+y^{2}=9, ou seja, em coordenadas polares/cilíndricas isso é r=3.
  • A superfície cônica tem equação z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, que em coordenadas cilíndricas é z=r.
  • O enunciado não dá outras superfícies que fecham o sólido em z. Para obter um volume finito e coerente com a expressão do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (que tem z\ge 0), consideraremos o sólido limitado abaixo pelo plano z=0 (o plano xy) e acima pela superfície do cone z=r, com a restrição radial 0\le r\le 3. Ou seja, o sólido é o conjunto de pontos tais que
0\le z\le r,\qquad 0\le r\le 3,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
O que se pede, portanto, é calcular o volume desse sólido.

Passo 2

Passo rápido sobre coordenadas cilíndricas (aulas em miniatura para você entender): em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis (r,\theta,z) relacionadas a (x,y,z) por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z.
Aqui r\ge 0 é a distância ao eixo z, \theta é o ângulo no plano xy e z é a coordenada vertical. Ao mudar de variáveis o elemento de volume dV passa a ser
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
Explicação do r: ele vem do fator de escala ao transformar a área diferencial dx\,dy em coordenadas polares: dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Isso é fundamental — sempre que usar coordenadas polares/cilíndricas lembre do r no integrando.

Passo 3

Determinar os limites de integração a partir da geometria do sólido:
  • Como estamos “dentro do cilindro” x^{2}+y^{2}=9, temos 0\le r\le 3.
  • Como o sólido está entre o plano z=0 (inferior) e a superfície do cone z=r (superior), temos 0\le z\le r.
  • Completa-se o giro completo ao redor do eixo z, então 0\le \theta\le 2\pi.
Portanto o volume V é dado pela integral tripla em coordenadas cilíndricas
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3}\int_{z=0}^{r} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcule a integral interna em z. Mantendo r e \theta fixos,
\int_{z=0}^{r} r\,dz = r\cdot\bigl[z\bigr]_{0}^{r} = r\cdot r = r^{2}.
Expliquei: integrando r em relação a z é como integrar uma constante r em z; o resultado é r vezes a largura do intervalo em z, que é r-0=r.

Passo 5

Agora a integral em r:
\int_{r=0}^{3} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{3^{3}}{3}-0 = \frac{27}{3}=9.
Detalhe: apliquei a primitiva de r^{2}, que é \tfrac{r^{3}}{3}, e avaliei nos limites.

Passo 6

Finalmente a integral em \theta:
\int_{\theta=0}^{2\pi} 9\,d\theta = 9\cdot\bigl[\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = 9\cdot 2\pi = 18\pi.
Pronto — esse é o volume do sólido considerado.

Resposta

18\pi

Exercícios relacionados