Use o teorema de Green para calcular a área da regiāo plana compreendida dentro da elipse
e fora do circulo
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A elipse tem equação
Simplificando essa equação obtemos
Dessa forma os semi-eixos são
(no eixo
) e
(no eixo
).
- O círculo tem equação
portanto o raio é
.
O que o problema pede: calcular a área da região plana que está dentro da elipse e fora do círculo (ou seja, a região que fica no anel entre a elipse e o círculo).
Passo 2
Vou usar uma fórmula baseada no Teorema de Green que nos transforma uma área dupla em uma integral de linha ao longo da fronteira. Primeiro explico a ideia e as escolhas.
Teorema de Green (forma relevante): para uma região
com fronteira
orientada positivamente,
Se escolhermos funções
e
tais que
, então a integral dupla no lado direito é simplesmente a área de
. Uma escolha prática é
pois
Com isso obtemos a fórmula clássica da área por integral de linha:
Observação importante sobre orientação da fronteira: para uma região com um buraco (como aqui, dentro da elipse mas fora do círculo), a fronteira
tem duas curvas: a curva externa (elipse) orientada no sentido anti-horário (positiva) e a curva interna (círculo) orientada no sentido horário (negativa). Portanto, ao aplicar a fórmula, a contribuição da curva interna entra com sinal trocado.
Passo 3
Parametrizo a elipse (curva externa) de forma anti-horária. Uma parametrização natural é
Calculo os diferenciais:
O integrando da fórmula é
Simplificando:
Agora a integral de linha ao longo da elipse (no sentido anti-horário) é
Aplicando o fator
da fórmula da área, a contribuição da parte interna da elipse é
Passo 4
Parametrizo o círculo (curva interna). A parametrização no sentido anti-horário é
Cálculo dos derivados:
O integrando é
Assim a integral de linha ao longo do círculo no sentido anti-horário é
Aplicando o fator
, a área associada ao disco (se considerássemos ele como região positiva) seria
Mas atenção ao sinal: como o círculo é a fronteira de um buraco, na fronteira total
o círculo aparece orientado no sentido horário, o que muda o sinal da sua contribuição. Portanto a contribuição efetiva do círculo para a área da nossa região é
.
Passo 5
Somando as contribuições das duas fronteiras (elipse externa positiva e círculo interno negativa) obtemos a área da região desejada:
Como verificação rápida (sem usar Green): a área de uma elipse é
e a área do círculo é
. Subtraindo obtemos o mesmo resultado
.