Use o teorema de Green para calcular a área da regiāo plana compreendida dentro da elipse \frac{16 x^{2}}{144}+\frac{9 y^{2}}{144}=\frac{144}{144} e fora do circulo x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A elipse tem equação
\frac{16 x^{2}}{144}+\frac{9 y^{2}}{144}=\frac{144}{144}.
Simplificando essa equação obtemos
16x^{2}+9y^{2}=144\quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1.
Dessa forma os semi-eixos são \,a=3 (no eixo x) e \,b=4 (no eixo y).
  • O círculo tem equação
x^{2}+y^{2}=4,
portanto o raio é \,r=2.
O que o problema pede: calcular a área da região plana que está dentro da elipse e fora do círculo (ou seja, a região que fica no anel entre a elipse e o círculo).

Passo 2

Vou usar uma fórmula baseada no Teorema de Green que nos transforma uma área dupla em uma integral de linha ao longo da fronteira. Primeiro explico a ideia e as escolhas.
Teorema de Green (forma relevante): para uma região D com fronteira \partial D orientada positivamente,
\oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Se escolhermos funções P e Q tais que \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1, então a integral dupla no lado direito é simplesmente a área de D. Uma escolha prática é
P=-\frac{y}{2},\qquad Q=\frac{x}{2},
pois
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=1.
Com isso obtemos a fórmula clássica da área por integral de linha:
\text{Área}(D)=\iint_{D}1\,dA=\oint_{\partial D}\left(-\frac{y}{2}\,dx+\frac{x}{2}\,dy\right)=\frac{1}{2}\oint_{\partial D}\bigl(x\,dy-y\,dx\bigr).Á
Observação importante sobre orientação da fronteira: para uma região com um buraco (como aqui, dentro da elipse mas fora do círculo), a fronteira \partial D tem duas curvas: a curva externa (elipse) orientada no sentido anti-horário (positiva) e a curva interna (círculo) orientada no sentido horário (negativa). Portanto, ao aplicar a fórmula, a contribuição da curva interna entra com sinal trocado.

Passo 3

Parametrizo a elipse (curva externa) de forma anti-horária. Uma parametrização natural é
x(t)=3\cos t,\qquad y(t)=4\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
Calculo os diferenciais:
x'(t)=-3\sin t,\qquad y'(t)=4\cos t.
O integrando da fórmula é
x\,\frac{dy}{dt}-y\,\frac{dx}{dt} = \bigl(3\cos t\bigr)\bigl(4\cos t\bigr) - \bigl(4\sin t\bigr)\bigl(-3\sin t\bigr).
Simplificando:
x\,y' - y\,x' = 12\cos^{2}t + 12\sin^{2}t = 12(\cos^{2}t+\sin^{2}t) = 12.
Agora a integral de linha ao longo da elipse (no sentido anti-horário) é
\oint_{\text{elipse}} (x\,dy - y\,dx) = \int_{0}^{2\pi} 12\,dt = 12\cdot 2\pi = 24\pi.
Aplicando o fator \tfrac{1}{2} da fórmula da área, a contribuição da parte interna da elipse é
\text{Área}_{\text{elipse}}=\frac{1}{2}\cdot 24\pi = 12\pi.Á

Passo 4

Parametrizo o círculo (curva interna). A parametrização no sentido anti-horário é
x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=2\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
Cálculo dos derivados:
x'(t)=-2\sin t,\qquad y'(t)=2\cos t.
O integrando é
x\,y' - y\,x' = \bigl(2\cos t\bigr)\bigl(2\cos t\bigr) - \bigl(2\sin t\bigr)\bigl(-2\sin t\bigr) = 4\cos^{2}t + 4\sin^{2}t = 4.
Assim a integral de linha ao longo do círculo no sentido anti-horário é
\oint_{\text{círculo, CCW}} (x\,dy - y\,dx) = \int_{0}^{2\pi} 4\,dt = 8\pi.í
Aplicando o fator \tfrac{1}{2}, a área associada ao disco (se considerássemos ele como região positiva) seria
\frac{1}{2}\cdot 8\pi = 4\pi.
Mas atenção ao sinal: como o círculo é a fronteira de um buraco, na fronteira total \partial D o círculo aparece orientado no sentido horário, o que muda o sinal da sua contribuição. Portanto a contribuição efetiva do círculo para a área da nossa região é -4\pi.

Passo 5

Somando as contribuições das duas fronteiras (elipse externa positiva e círculo interno negativa) obtemos a área da região desejada:
\text{Área}(D)=\text{Área}_{\text{elipse}} - \text{Área}_{\text{círculo}} = 12\pi - 4\pi = 8\pi.ÁÁÁí
Como verificação rápida (sem usar Green): a área de uma elipse é \pi a b=\pi\cdot 3\cdot 4=12\pi e a área do círculo é \pi r^{2}=\pi\cdot 2^{2}=4\pi. Subtraindo obtemos o mesmo resultado \,8\pi.

Resposta

8\pi

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