Utilizando as fórmulas: sin m x cos n x=12[sin (m+n) x+sin (m-n) x] ; cos m x cos n x=12[cos (m+n) x+cos (m-n) x], Calcule: integral-pi^pi sin 2 x cos 5 x d x

Passo 1

Este exercício pede para calcular a integral de
integral-pi^pi sin2xcos5x,dx, usando as fórmulas de produto para soma do tipo
sin m xcos n x=tfrac12[sin(m+n)x+sin(m-n)x] e
cos m xcos n x=tfrac12[cos(m+n)x+cos(m-n)x].

Passo 2

Aplicando a identidade
sin m xcos n x=tfrac12[sin(m+n)x+sin(m-n)x] com m=2 e n=5, obtemos:
sin2xcos5x=tfrac12[sin7x+sin(-3x)] = tfrac12[sin7x-sin3x]

Passo 3

Substituindo isso na integral, ela se separa em duas partes:
integral-pi^pisin2xcos5x,dx = tfrac12integral-pi^pisin7x,dx - tfrac12integral-pi^pisin3x,dx

Passo 4

Como a função sin(kx) é ímpar para qualquer inteiro k, a integral de uma função ímpar em limites simétricos -a até a vale zero. Logo,
integral-pi^pisin7x,dx = 0eintegral-pi^pisin3x,dx = 0

Passo 5

Portanto, somando as duas parcelas, o resultado final da integral é zero.

Resposta

0

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