Obtenha e classique os pontos críticos da função dada (diga se os máximos e os mínimos são globais ou não).
f(x, y)=x+y sen x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrarmos e classificarmos os pontos críticos da função $ f(x, y) = x + y \sin x $. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para identificar onde a função tem pontos críticos e determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a todas as suas variáveis são iguais a zero.
Então, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $:
f
x

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
fx = 0 Rightarrow 1 + y cos x = 0
fy = 0 Rightarrow sin x = 0
A equação $ \sin x = 0 $ nos diz que $ x $ deve ser múltiplo de $ \pi $, ou seja:
sin x = 0 éú

Passo 4

Substituindo $ x = n\pi $ na equação $ 1 + y \cos x = 0 $, temos:
x = npi
Sabemos que $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, então:
1 + y cos x = 0
Mas podemos simplificar isso para:
1 + y cos(npi) = 0
Portanto, os pontos críticos são:
cos(npi) = (-1)^n

Passo 5

Agora, vamos classificar esses pontos críticos para saber se são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que é composta pelas segundas derivadas parciais da função.
Calculando as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x(1 + y cos x) = -y sin x
fxy = partial^2 fpartial x partial y = partialpartial y(1 + y cos x) = cos x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y(sin x) = 0
A determinação da natureza dos pontos críticos se dá pelo determinante da Hessiana (H):
H = fxx fyy - (fxy)^2 = (-y sin x)(0) - (cos x)^2 = -(cos x)^2

Passo 6

Vamos avaliar $ H $ nos pontos críticos $ (n\pi, (-1)^n) $:
Sabemos que $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, então:
H
Como o determinante $ H $ é negativo, isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função $ f(x, y) = x + y \sin x $ são $ (n\pi,, (-1)^n) $ para todo número inteiro $ n $, e todos esses pontos são pontos de sela. Portanto, a função não possui máximos ou mínimos globais.

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