Obtenha e classique os pontos críticos da função dada (diga se os máximos e os mínimos são globais ou não).
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrarmos e classificarmos os pontos críticos da função $ f(x, y) = x + y \sin x $. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para identificar onde a função tem pontos críticos e determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a todas as suas variáveis são iguais a zero.
Então, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
A equação $ \sin x = 0 $ nos diz que $ x $ deve ser múltiplo de $ \pi $, ou seja:
Passo 4
Substituindo $ x = n\pi $ na equação $ 1 + y \cos x = 0 $, temos:
Sabemos que $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, então:
Mas podemos simplificar isso para:
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 5
Agora, vamos classificar esses pontos críticos para saber se são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que é composta pelas segundas derivadas parciais da função.
Calculando as segundas derivadas:
A determinação da natureza dos pontos críticos se dá pelo determinante da Hessiana (H):
Passo 6
Vamos avaliar $ H $ nos pontos críticos $ (n\pi, (-1)^n) $:
Sabemos que $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, então:
Como o determinante $ H $ é negativo, isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função $ f(x, y) = x + y \sin x $ são $ (n\pi,, (-1)^n) $ para todo número inteiro $ n $, e todos esses pontos são pontos de sela. Portanto, a função não possui máximos ou mínimos globais.