Use integral múltipla para determinar o volume do solido limitado
Pelos cilindros x^2+y^2=1 e y^2+z^2=1

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado por dois cilindros: x^2 + y^2 = 1 e y^2 + z^2 = 1. Vamos usar integrais múltiplas para resolver isso. Pra isso, a gente vai precisar entender geometria de sólidos e como configurar e calcular integrais em múltiplas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar os cilindros. O cilindro x^2 + y^2 = 1 é um cilindro circular reto ao longo do eixo z, com raio 1. Já o cilindro y^2 + z^2 = 1 é outro cilindro circular reto, mas ao longo do eixo x, também com raio 1. O sólido que queremos é a interseção desses dois cilindros.

Passo 3

Para achar o volume dessa interseção, vamos usar a simetria do sólido. Observamos que o sólido é simétrico em relação aos planos coordenados, então podemos calcular o volume em um único octante (por exemplo, onde x, y, e z são positivos) e depois multiplicar por 8 para obter o volume total.

Passo 4

Vamos configurar a integral tripla para um octante. As variáveis vão variar entre 0 e 1 devido aos cilindros. A equação x^2 + y^2 <= 1 nos dá x em função de y, e y^2 + z^2 <= 1 nos dá z em função de y. Assim, x vai de 0 a raiz1 - y^2 e z vai de 0 a raiz1 - y^2.

Passo 5

A integral para o volume em um octante fica:
Voctante = integral0^1 integral0^raiz1 - y^2 integral0^raiz1 - y^2 dz , dx , dy
Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^raiz1 - y^2 dz = raiz1 - y^2
Agora, a integral fica:
Voctante = integral0^1 integral0^raiz1 - y^2 raiz1 - y^2 , dx , dy
Integrando em relação a x:
integral0^raiz1 - y^2 raiz1 - y^2 , dx = (1 - y^2)
Então, a integral agora é:
Voctante = integral0^1 (1 - y^2) , dy

Passo 6

Vamos calcular essa última integral:
integral0^1 (1 - y^2) , dy = [ y - y^33 ]0^1 = (1 - 13) - (0 - 0) = 23
Então, o volume em um octante é 23.

Passo 7

Como o sólido todo tem 8 octantes iguais, o volume total é:
Vtotal = 8 times 23 = 163

Resposta

O volume do sólido limitado pelos cilindros x^2+y^2=1 e y^2+z^2=1 é 163 unidades cúbicas.

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