Use integral múltipla para determinar o volume do solido limitado
Pelos cilindros
e
Pelos cilindros
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado por dois cilindros:
e
. Vamos usar integrais múltiplas para resolver isso. Pra isso, a gente vai precisar entender geometria de sólidos e como configurar e calcular integrais em múltiplas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar os cilindros. O cilindro
é um cilindro circular reto ao longo do eixo z, com raio 1. Já o cilindro
é outro cilindro circular reto, mas ao longo do eixo x, também com raio 1. O sólido que queremos é a interseção desses dois cilindros.
Passo 3
Para achar o volume dessa interseção, vamos usar a simetria do sólido. Observamos que o sólido é simétrico em relação aos planos coordenados, então podemos calcular o volume em um único octante (por exemplo, onde
,
, e
são positivos) e depois multiplicar por 8 para obter o volume total.
Passo 4
Vamos configurar a integral tripla para um octante. As variáveis vão variar entre 0 e 1 devido aos cilindros. A equação
nos dá
em função de
, e
nos dá
em função de
. Assim,
vai de 0 a
e
vai de 0 a
.
Passo 5
A integral para o volume em um octante fica:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Então, a integral agora é:
Passo 6
Vamos calcular essa última integral:
Então, o volume em um octante é
.
Passo 7
Como o sólido todo tem 8 octantes iguais, o volume total é:
Resposta
O volume do sólido limitado pelos cilindros
e
é
unidades cúbicas.