Use uma integral tripla para calcular o volume do tetraedro
no primeiro octante delimitado pelos planos
e
. Confirme que o seu resultado está de acordo com a fórmula "
".
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) calcular, usando uma integral tripla, o volume do tetraedro
que está no primeiro octante e é limitado pelos planos
; (2) confirmar que o resultado obtido bate com a fórmula
.\n
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
- •E está no primeiro octante, logo
- •Uma face oblíqua do tetraedro é o plano
que intersecta os eixos em . - •As outras três faces são os planos coordenados
.
A tarefa principal é montar a integral tripla que representa o volume de
e calculá‑la passo a passo.
Passo 2
Princípio usado (explicação didática): o volume de uma região
no espaço pode ser escrito como a integral tripla da função constante
sobre
:
Aqui
representa o elemento de volume (pequeno cubinho) — em coordenadas cartesianas
(ou outra ordem). A integral de
soma os volumes desses cubinhos sobre toda a região.
Agora escolhemos uma ordem de integração conveniente. Observando
e as desigualdades
, para um par
fixo com
temos
(desde que
). Assim, se integrarmos na ordem
, os limites são:
Portanto montamos a integral:
Passo 3
Avaliação da integral interna (primeira integração, em
). Integramos
em relação a
entre os limites
e
:
Portanto a integral tripla reduz-se a uma integral dupla:
Passo 4
Avaliação da segunda integral (integração em
). Integramos a função
em
de
a
. Primeiro, separemos termos:
Calcule cada termo:
Subtraindo,
Agora a integral em
é:
Passo 5
Avaliação da integral final (integração em
). Podemos desenvolver o quadrado e integrar termo a termo:
Então
Calcule a primitiva:
Avalie entre
e
:
Multiplicando pelo fator
:
Passo 6
Confirmação pela fórmula
(explicação didática): escolha como base
a face do tetraedro que está no plano
. Essa face é o triângulo com vértices
. É um triângulo retângulo cujos catetos têm comprimento
(interseções com os eixos). Assim a área da base é
A altura
do tetraedro relativa a essa base é a distância do vértice oposto
até o plano
. Como o plano é
, essa distância é simplesmente
. Agora aplique a fórmula:
Portanto o resultado da integral tripla coincide com a fórmula geométrica.