Use uma integral tripla para calcular o volume do tetraedro E no primeiro octante delimitado pelos planos x+y+z=1, x=0, y=0 e z=0. Confirme que o seu resultado está de acordo com a fórmula " V=\frac{1}{3} B h ".

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular, usando uma integral tripla, o volume do tetraedro E que está no primeiro octante e é limitado pelos planos x+y+z=1,\;x=0,\;y=0,\;z=0; (2) confirmar que o resultado obtido bate com a fórmula \displaystyle V=\frac{1}{3}Bh.\n
Informações dadas e observações imediatas:
  • E está no primeiro octante, logo x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0.
  • Uma face oblíqua do tetraedro é o plano \;x+y+z=1\; que intersecta os eixos em (1,0,0),\;(0,1,0),\;(0,0,1).
  • As outras três faces são os planos coordenados x=0,\;y=0,\;z=0.
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A tarefa principal é montar a integral tripla que representa o volume de E e calculá‑la passo a passo.

Passo 2

Princípio usado (explicação didática): o volume de uma região E no espaço pode ser escrito como a integral tripla da função constante 1 sobre E:
V=\iiint_{E} 1\,dV.
Aqui dV representa o elemento de volume (pequeno cubinho) — em coordenadas cartesianas dV=dz\,dy\,dx (ou outra ordem). A integral de 1 soma os volumes desses cubinhos sobre toda a região.
Agora escolhemos uma ordem de integração conveniente. Observando x+y+z=1 e as desigualdades x,y,z\ge0, para um par (x,y) fixo com x\ge0,\;y\ge0 temos 0\le z\le 1-x-y (desde que 1-x-y\ge0). Assim, se integrarmos na ordem dz\,dy\,dx, os limites são:
0\le z \le 1-x-y,\qquad 0\le y \le 1-x,\qquad 0\le x \le 1.
Portanto montamos a integral:
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\int_{z=0}^{1-x-y} 1\,dz\,dy\,dx.

Passo 3

Avaliação da integral interna (primeira integração, em z). Integramos 1 em relação a z entre os limites 0 e 1-x-y:
\int_{z=0}^{1-x-y} 1\,dz = \big[z\big]_{0}^{1-x-y} = 1-x-y.
Portanto a integral tripla reduz-se a uma integral dupla:
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x} (1-x-y)\,dy\,dx.

Passo 4

Avaliação da segunda integral (integração em y). Integramos a função 1-x-y em y de 0 a 1-x. Primeiro, separemos termos:
\int_{y=0}^{1-x} (1-x-y)\,dy = \int_{0}^{1-x} (1-x)\,dy - \int_{0}^{1-x} y\,dy.
Calcule cada termo:
\int_{0}^{1-x} (1-x)\,dy = (1-x)\big[y\big]_{0}^{1-x} = (1-x)(1-x)=(1-x)^2,
\int_{0}^{1-x} y\,dy = \bigg[\frac{y^2}{2}\bigg]_{0}^{1-x} = \frac{(1-x)^2}{2}.
Subtraindo,
\int_{y=0}^{1-x} (1-x-y)\,dy = (1-x)^2 - \frac{(1-x)^2}{2} = \frac{(1-x)^2}{2}.
Agora a integral em x é:
V=\int_{x=0}^{1} \frac{(1-x)^2}{2}\,dx.

Passo 5

Avaliação da integral final (integração em x). Podemos desenvolver o quadrado e integrar termo a termo:
\frac{(1-x)^2}{2} = \frac{1 - 2x + x^2}{2}.
Então
V=\frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1 - 2x + x^2)\,dx.
Calcule a primitiva:
\int (1 - 2x + x^2)\,dx = x - x^2 + \frac{x^3}{3}.
Avalie entre 0 e 1:
\bigg[x - x^2 + \frac{x^3}{3}\bigg]_{0}^{1} = \left(1 - 1 + \frac{1}{3}\right) - 0 = \frac{1}{3}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2}:
V=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.

Passo 6

Confirmação pela fórmula \displaystyle V=\frac{1}{3}Bh (explicação didática): escolha como base B a face do tetraedro que está no plano z=0. Essa face é o triângulo com vértices (0,0,0),\;(1,0,0),\;(0,1,0). É um triângulo retângulo cujos catetos têm comprimento 1 (interseções com os eixos). Assim a área da base é
B=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = \frac{1}{2}.
A altura h do tetraedro relativa a essa base é a distância do vértice oposto (0,0,1) até o plano z=0. Como o plano é z=0, essa distância é simplesmente |1-0|=1. Agora aplique a fórmula:
\frac{1}{3}Bh = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{6}.
Portanto o resultado da integral tripla coincide com a fórmula geométrica.

Resposta

V=\frac{1}{6}
\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{6}

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