Seja E o sólido cilíndrico circular dado por x^{2}+y^{2} \leq 4,1 \leq z \leq 3. Se a densidade de E é dada por \delta(x, y, z)=x^{2} z, calcule a massa de E.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a massa do sólido E tendo densidade \delta(x,y,z)=x^{2}z. As informações dadas são:
O sólido cilíndrico E é definido por \;x^{2}+y^{2}\le 4,\;1\le z\le 3.
A densidade em cada ponto (x,y,z) é \delta(x,y,z)=x^{2}z.
A massa do corpo é dada pela integral tripla da densidade sobre E: \displaystyle \text{massa}=\iiint_{E}\delta(x,y,z)\,dV.
Passo 2
Escolhemos coordenadas cilíndricas porque a região na base é um disco (x^{2}+y^{2}\le 4), e em coordenadas cilíndricas esse disco fica com limites simples. Em coordenadas cilíndricas usamos a transformação
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo polar. Ao mudar de variáveis o elemento de volume dV transforma-se em r\,dr\,d\theta\,dz. Esse fator r (o Jacobiano) aparece porque ao passar de retângulos em (r,\theta) para a área real no plano cartesiano, o comprimento na direção angular cresce proporcionalmente a r (intuitivamente: um pequeno incremento angular d\theta descreve um arco de comprimento r\,d\theta).
Passo 3
Escrevemos a densidade em cilíndricas: x^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta. O integrando \delta(x,y,z)\,dV vira