Seja E o sólido cilíndrico circular dado por x^{2}+y^{2} \leq 4,1 \leq z \leq 3. Se a densidade de E é dada por \delta(x, y, z)=x^{2} z, calcule a massa de E.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa do sólido E tendo densidade \delta(x,y,z)=x^{2}z. As informações dadas são:
  • O sólido cilíndrico E é definido por \;x^{2}+y^{2}\le 4,\;1\le z\le 3.
  • A densidade em cada ponto (x,y,z) é \delta(x,y,z)=x^{2}z.
  • A massa do corpo é dada pela integral tripla da densidade sobre E: \displaystyle \text{massa}=\iiint_{E}\delta(x,y,z)\,dV.

Passo 2

Escolhemos coordenadas cilíndricas porque a região na base é um disco ( x^{2}+y^{2}\le 4), e em coordenadas cilíndricas esse disco fica com limites simples. Em coordenadas cilíndricas usamos a transformação
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo polar. Ao mudar de variáveis o elemento de volume dV transforma-se em r\,dr\,d\theta\,dz. Esse fator r (o Jacobiano) aparece porque ao passar de retângulos em (r,\theta) para a área real no plano cartesiano, o comprimento na direção angular cresce proporcionalmente a r (intuitivamente: um pequeno incremento angular d\theta descreve um arco de comprimento r\,d\theta).

Passo 3

Escrevemos a densidade em cilíndricas: x^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta. O integrando \delta(x,y,z)\,dV vira
x^{2}z\,dV = \big(r^{2}\cos^{2}\theta\big)\,z\;(r\,dr\,d\theta\,dz) = r^{3}\cos^{2}\theta\; z\; dr\,d\theta\,dz.
Os limites para a região E em cilíndricas são: \theta de 0 a 2\pi, r de 0 a 2 (pois r^{2}\le 4), e z de 1 a 3. Assim a massa é
\text{massa}=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=1}^{3} r^{3}\cos^{2}\theta\; z\; dz\,dr\,d\theta .

Passo 4

A função integranda é produto de funções que dependem separadamente de \theta, r e z, então podemos separar a integral:
\text{massa}=\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{2} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{1}^{3} z\,dz\right).
Vamos calcular cada uma. Primeiro a integral angular. Usamos a identidade trigonométrica
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Portanto
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta + \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta.
A segunda integral é zero porque \cos(2\theta) tem média zero em um período inteiro. Então
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot(2\pi) = \pi.

Passo 5

Agora a integral radial:
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4} - 0 = \frac{16}{4} = 4.
Expliquei: para \int r^{n}dr usamos a primitiva r^{n+1}/(n+1).

Passo 6

E a integral em z:
\int_{1}^{3} z\,dz = \left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{1}^{3} = \frac{3^{2}-1^{2}}{2} = \frac{9-1}{2} = \frac{8}{2} = 4.

Passo 7

Multiplicando os três resultados obtidos:
\text{massa} = \pi \times 4 \times 4 = 16\pi.
Você conseguiu! A conta separou bonitinho: parte angular deu \pi, parte radial 4 e parte em z também 4, produto 16\pi.

Resposta

16\pi

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