Calcule o volume do sólido
abaixo do paraboloide
e acima do plano
(faça um desenho de
).
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido
que está abaixo do paraboloide
e acima do plano
. Além disso, pede para fazer um desenho de
.
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar:
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar:
- a superfície superior é
; - a superfície inferior (plano) é
; - o sólido
é a porção do espaço entre essas duas superfícies.
Passo 2
Estratégia e fundamento teórico (aula rápida e por que usar polar).
- Para calcular volume entre duas superfícies
(superior) e (inferior) sobre uma região no plano , usamos a fórmula
Aqui cada ponto
do domínio
contribui com uma “coluna” de altura
e área de base infinitesimal
. Explico variables:
é a coordenada
da superfície superior,
da inferior, e
é o elemento de área no plano
.
- Nosso
e . A região é o conjunto de pontos onde o paraboloide está acima do plano, isto é, onde . Vamos encontrar e, por simetria circular (a equação do paraboloide depende de ), é natural usar coordenadas polares: , e . Em polares, as curvas ficam simplesmente , facilitando a integral.
Passo 3
Determinar a projeção
no plano
e montar a integral.
- Igualando as superfícies para achar a fronteira da região:
Portanto a projeção
é o disco de raio
centrado na origem:
. Em coordenadas polares isso é
e
.
- A altura do sólido em um ponto
é
Em polares
, então a altura é
. Assim a integral do volume fica
Expliquei: o fator extra
vem de
em coordenadas polares.
Passo 4
Calcular a integral interna (em
). Escrevo o integrando multiplicado por
:
Agora integro em
de
a
:
Avalio em
:
Faço a subtração de frações:
Logo o resultado da integral interna é
.
Passo 5
Calcular a integral externa (em
). Como o valor obtido na integral interna é constante em
, temos
Passo 6
Interpretação geométrica e como desenhar
(passo-a-passo do esboço). Para desenhar o sólido
:
- No plano
faça um círculo de raio (essa é a projeção da interseção entre o paraboloide e o plano). - A superfície superior é um paraboloide invertido cujo vértice está em
; em corte vertical pela reta ele aparece como a parábola . - A superfície inferior é o plano horizontal
. Em um corte vertical, desenhe a linha horizontal que corta a parábola quando , ou seja . - O sólido
é a “tampa” dessa região: dentro do círculo de raio no plano , para cada a altura vai de até . No centro ( ) a altura máxima é ; na borda a altura é zero (a superfície e o plano se encontram).
Se quiser um esboço rápido: desenhe uma parábola invertida cortada por uma linha horizontal e, no plano, o círculo de raio . Isso já transmite a ideia do sólido.
Passo 7
Resumo final do cálculo e checagem rápida. Repassando: montamos a integral em polares porque a região é um disco; integramos primeiro em
e depois em
; os cálculos deram
. A unidade do volume depende das unidades usadas nas variáveis (por exemplo, unidades cúbicas).