Calcule o volume do sólido E abaixo do paraboloide z=25-x^{2}-y^{2} e acima do plano z=16 (faça um desenho de E ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido E que está abaixo do paraboloide z=25-x^{2}-y^{2} e acima do plano z=16. Além disso, pede para fazer um desenho de E.
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar:
  • a superfície superior é z=25-x^{2}-y^{2};
  • a superfície inferior (plano) é z=16;
  • o sólido E é a porção do espaço entre essas duas superfícies.

Passo 2

Estratégia e fundamento teórico (aula rápida e por que usar polar).
  • Para calcular volume entre duas superfícies z=f(x,y) (superior) e z=g(x,y) (inferior) sobre uma região D no plano xy, usamos a fórmula
V=\iint_{D}\bigl(f(x,y)-g(x,y)\bigr)\,dA.
Aqui cada ponto (x,y) do domínio D contribui com uma “coluna” de altura f(x,y)-g(x,y) e área de base infinitesimal dA. Explico variables: f(x,y) é a coordenada z da superfície superior, g(x,y) da inferior, e dA é o elemento de área no plano xy.
  • Nosso f(x,y)=25-x^{2}-y^{2} e g(x,y)=16. A região D é o conjunto de pontos (x,y) onde o paraboloide está acima do plano, isto é, onde 25-x^{2}-y^{2}\ge16. Vamos encontrar D e, por simetria circular (a equação do paraboloide depende de x^{2}+y^{2}), é natural usar coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta. Em polares, as curvas x^{2}+y^{2}=\text{constante} ficam simplesmente r=\text{constante}, facilitando a integral.

Passo 3

Determinar a projeção D no plano xy e montar a integral.
  • Igualando as superfícies para achar a fronteira da região:
25-x^{2}-y^{2}=16 \implies x^{2}+y^{2}=9.
Portanto a projeção D é o disco de raio 3 centrado na origem: D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le9\}. Em coordenadas polares isso é 0\le r\le3 e 0\le\theta\le2\pi.
  • A altura do sólido em um ponto (x,y) é
f(x,y)-g(x,y)=\bigl(25-x^{2}-y^{2}\bigr)-16=9-(x^{2}+y^{2}).
Em polares x^{2}+y^{2}=r^{2}, então a altura é 9-r^{2}. Assim a integral do volume fica
V=\iint_{D}\bigl(9-r^{2}\bigr)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\bigl(9-r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.
Expliquei: o fator extra r vem de dA=r\,dr\,d\theta em coordenadas polares.

Passo 4

Calcular a integral interna (em r). Escrevo o integrando multiplicado por r:
(9-r^{2})\,r=9r-r^{3}.
Agora integro em r de 0 a 3:
\int_{0}^{3}(9r-r^{3})\,dr =\left[\frac{9}{2}r^{2}-\frac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{3}.
Avalio em r=3:
\frac{9}{2}\cdot 3^{2}-\frac{1}{4}\cdot 3^{4} =\frac{9}{2}\cdot 9-\frac{1}{4}\cdot 81 =\frac{81}{2}-\frac{81}{4}.
Faço a subtração de frações:
\frac{81}{2}-\frac{81}{4}=\frac{162}{4}-\frac{81}{4}=\frac{81}{4}.
Logo o resultado da integral interna é \dfrac{81}{4}.

Passo 5

Calcular a integral externa (em \theta). Como o valor obtido na integral interna é constante em \theta, temos
V=\int_{0}^{2\pi}\frac{81}{4}\,d\theta=\frac{81}{4}\cdot\bigl(2\pi\bigr)=\frac{81}{2}\pi.

Passo 6

Interpretação geométrica e como desenhar E (passo-a-passo do esboço). Para desenhar o sólido E:
  • No plano xy faça um círculo de raio 3 (essa é a projeção da interseção entre o paraboloide e o plano).
  • A superfície superior é um paraboloide invertido cujo vértice está em (0,0,25); em corte vertical pela reta y=0 ele aparece como a parábola z=25-x^{2}.
  • A superfície inferior é o plano horizontal z=16. Em um corte vertical, desenhe a linha horizontal z=16 que corta a parábola quando x^{2}=9, ou seja x=\pm3.
  • O sólido E é a “tampa” dessa região: dentro do círculo de raio 3 no plano xy, para cada (x,y) a altura vai de z=16 até z=25-x^{2}-y^{2}. No centro ( r=0) a altura máxima é 25-16=9; na borda r=3 a altura é zero (a superfície e o plano se encontram).
    Se quiser um esboço rápido: desenhe uma parábola invertida cortada por uma linha horizontal e, no plano xy, o círculo de raio 3. Isso já transmite a ideia do sólido.

Passo 7

Resumo final do cálculo e checagem rápida. Repassando: montamos a integral em polares porque a região é um disco; integramos primeiro em r e depois em \theta; os cálculos deram \dfrac{81}{2}\pi. A unidade do volume depende das unidades usadas nas variáveis (por exemplo, unidades cúbicas).

Resposta

\dfrac{81}{2}\pi

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