Use uma integral tripla para determinar o volume de:
A região no primeiro octante limitada pelos planos de coordenadas, o plano
, e a superfície
.
A região no primeiro octante limitada pelos planos de coordenadas, o plano
Passo 1
O problema pede o volume da região no primeiro octante limitada por x=0, y=0, z=0, pelo plano y=1–x e pela superfície z=cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) para 0≤x≤1. Vamos usar integral tripla e Fubini para calcular esse volume.
Passo 2
Para descrever a região em termos de integrais iteradas, notamos que: x varia de 0 a 1; para cada x, y vai de 0 até 1–x; e para cada (x,y), z vai de 0 até cos\left(\tfrac{\pi}{2}x\right). Assim,
Passo 3
Começamos integrando em z e y. Primeiro, em z temos
$$\int_{0}^{\cos\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)}dz=\cos\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)
$$
Passo 4
Então o volume reduz-se a uma integral simples em x:
Passo 5
Para calcular essa integral, usamos integração por partes. Escolhemos u=1–x (logo du=–dx) e dv=\cos\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)dx (logo v=\tfrac{2}{\pi}\sin\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)). Pela fórmula
, obtemos
$$\int_{0}{1}(1-x)\cos\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)dx=\Bigl[(1-x)\tfrac{2}{\pi}\sin\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)\Bigr]_{0}{1}+\tfrac{2}{\pi}\int_{0}^{1}\sin\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)dx.
$$
Passo 6
A primeira parte avalia-se em zero nos dois extremos. A segunda parte é
$$\tfrac{2}{\pi}\int_{0}{1}\sin\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)dx=\tfrac{2}{\pi}\Bigl[-\tfrac{2}{\pi}\cos\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)\Bigr]_{0}{1}=\tfrac{4}{\pi2}\bigl(1-\cos\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\tfrac{4}{\pi2}.
$$