Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para determinar o limite, se existir, da função:
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^2+|y| + (x+y-1)^2
Conteúdo da matéria: Limites em duas variáveis.
O que vamos precisar:
  • Entender como calcular limites de funções de duas variáveis.
  • Analisar o comportamento da função ao se aproximar do ponto (0,0) por diferentes caminhos.
  • Conhecer o conceito de limite ser único para que exista.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a função em duas partes para facilitar a análise:
x^2 yx^2+|y| e (x + y - 1)^2
Vamos analisar separadamente o limite de cada uma delas conforme (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 3

Analisando x^2 yx^2+|y|:
Quando (x, y) (0,0), tanto x^2 quanto |y| tendem a zero. Queremos ver como essa fração se comporta.
Note que o numerador x^2 y tende a zero mais rapidamente, já que é o produto de x^2 e y. O denominador x^2 + |y| também tende a zero, mas a grandeza relativa das duas partes é importante.
Podemos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos para verificar se o limite depende do caminho escolhido.

Passo 4

Analisando ao longo do eixo x (onde y = 0):
Se y = 0:
x^2 cdot 0x^2 + 0 = 0
Portanto, o limite dessa parte é 0 ao longo do eixo x.

Passo 5

Analisando ao longo do eixo y (onde x = 0):
Se x = 0:
0 cdot y0 + |y| = 0
Novamente, o limite é 0 ao longo do eixo y.

Passo 6

Analisando ao longo da linha y = kx^2, onde k é uma constante:
Substituindo y = kx^2 na expressão:
x^2 cdot kx^2x^2 + |k|x^2 = kx^4x^2(1 + |k|) = kx^21 + |k| 0 quando x 0
Então, o limite também é 0 ao longo dessa curva.

Passo 7

Conclusão para a primeira parte:
Independentemente do caminho pelo qual (x, y) se aproxima de (0,0), o limite de x^2 yx^2+|y| é 0.

Passo 8

Analisando (x + y - 1)^2:
Essa expressão não depende de x e y tendendo a zero, mas sim do termo constante “-1”.
Quando (x, y) (0,0):
x + y - 1 0 + 0 - 1 = -1
Portanto:
(x + y - 1)^2 (-1)^2 = 1

Passo 9

Somando as duas partes:
Agora, juntamos os limites das duas partes:
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^2+|y| + (x+y-1)^2 = 0 + 1 = 1

Resposta

O limite existe e é igual a 1.

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