Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para determinar o limite, se existir, da função:
Conteúdo da matéria: Limites em duas variáveis.
O que vamos precisar:
- Entender como calcular limites de funções de duas variáveis.
- Analisar o comportamento da função ao se aproximar do ponto
por diferentes caminhos. - Conhecer o conceito de limite ser único para que exista.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a função em duas partes para facilitar a análise:
Vamos analisar separadamente o limite de cada uma delas conforme
se aproxima de
.
Passo 3
Analisando
:
Quando
, tanto
quanto
tendem a zero. Queremos ver como essa fração se comporta.
Note que o numerador
tende a zero mais rapidamente, já que é o produto de
e
. O denominador
também tende a zero, mas a grandeza relativa das duas partes é importante.
Podemos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos para verificar se o limite depende do caminho escolhido.
Passo 4
Analisando ao longo do eixo
(onde
):
Se
:
Portanto, o limite dessa parte é 0 ao longo do eixo
.
Passo 5
Analisando ao longo do eixo
(onde
):
Se
:
Novamente, o limite é 0 ao longo do eixo
.
Passo 6
Analisando ao longo da linha
, onde
é uma constante:
Substituindo
na expressão:
Então, o limite também é 0 ao longo dessa curva.
Passo 7
Conclusão para a primeira parte:
Independentemente do caminho pelo qual
se aproxima de
, o limite de
é 0.
Passo 8
Analisando
:
Essa expressão não depende de
e
tendendo a zero, mas sim do termo constante “-1”.
Quando
:
Portanto:
Passo 9
Somando as duas partes:
Agora, juntamos os limites das duas partes:
Resposta
O limite existe e é igual a 1.