Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O volume do sólido no primeiro octante, delimitasdo pelos planos coordenados, pelo plano y=1-x e pela superfície z=cos (pi x2) para 0 <= x <= 1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o volume de um sólido no primeiro octante usando uma integral tripla. O sólido é limitado pelos planos coordenados, pelo plano $ y = 1 - x $ e pela superfície $ z = \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) $ para $ 0 \leq x \leq 1 $. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração nas três direções $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites para $ x $. Sabemos que $ x $ varia de 0 até 1, ou seja:
x

Passo 3

Agora, para cada valor de $ x $, o valor de $ y $ varia desde o plano coordenado $ y = 0 $ até o plano $ y = 1 - x $. Portanto, os limites para $ y $ são:
x

Passo 4

Em seguida, para cada par de valores $ (x, y) $, o valor de $ z $ varia desde o plano coordenado $ z = 0 $ até a superfície $ z = \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) $. Assim, os limites para $ z $ são:
(x, y)

Passo 5

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume $ V $:
V

Passo 6

Vamos resolver a integral mais interna, em relação a $ z $:
z

Passo 7

Substituindo o resultado na integral, temos:
V = integral0^1 integral0^1 - x cos(pi x2) , dy , dx

Passo 8

Agora, integramos em relação a $ y $:
y

Passo 9

A integral agora fica:
V = integral0^1 cos(pi x2) (1 - x) , dx

Passo 10

Para resolver essa integral, expandimos o produto:
V = integral0^1 cos(pi x2) , dx - integral0^1 x cos(pi x2) , dx

Passo 11

Calculamos a primeira integral:
integral cos(pi x2) , dx = 2pi sin(pi x2)
Avaliando de 0 a 1:
2pi [ sin(pi2) - sin(0) ] = 2pi (1 - 0) = 2pi

Passo 12

Para a segunda integral, usamos integração por partes. Seja:
u = x Rightarrow du = dx
dv = cos(pi x2) dx Rightarrow v = 2pi sin(pi x2)
Aplicando integração por partes:
integral x cos(pi x2) dx = x cdot 2pi sin(pi x2) - integral 2pi sin(pi x2) dx
= 2xpi sin(pi x2) + 4pi^2 cos(pi x2)
Avaliando de 0 a 1:
[ 2pi sin(pi2) + 4pi^2 cos(pi2) ] - [ 0 + 4pi^2 cos(0) ]
= 2pi (1) + 0 - 4pi^2 (1)
= 2pi - 4pi^2

Passo 13

Voltando à expressão do volume:
V = 2pi - ( 2pi - 4pi^2 )
V = 2pi - 2pi + 4pi^2
V = 4pi^2

Resposta

O volume do sólido é $ V = \frac{4}{\pi^2} $ unidades cúbicas.

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