Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O volume do sólido no primeiro octante, delimitasdo pelos planos coordenados, pelo plano
e pela superfície
para
.
O volume do sólido no primeiro octante, delimitasdo pelos planos coordenados, pelo plano
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o volume de um sólido no primeiro octante usando uma integral tripla. O sólido é limitado pelos planos coordenados, pelo plano $ y = 1 - x $ e pela superfície $ z = \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) $ para $ 0 \leq x \leq 1 $. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração nas três direções $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites para $ x $. Sabemos que $ x $ varia de 0 até 1, ou seja:
Passo 3
Agora, para cada valor de $ x $, o valor de $ y $ varia desde o plano coordenado $ y = 0 $ até o plano $ y = 1 - x $. Portanto, os limites para $ y $ são:
Passo 4
Em seguida, para cada par de valores $ (x, y) $, o valor de $ z $ varia desde o plano coordenado $ z = 0 $ até a superfície $ z = \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) $. Assim, os limites para $ z $ são:
Passo 5
Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume $ V $:
Passo 6
Vamos resolver a integral mais interna, em relação a $ z $:
Passo 7
Substituindo o resultado na integral, temos:
Passo 8
Agora, integramos em relação a $ y $:
Passo 9
A integral agora fica:
Passo 10
Para resolver essa integral, expandimos o produto:
Passo 11
Calculamos a primeira integral:
Avaliando de 0 a 1:
Passo 12
Para a segunda integral, usamos integração por partes. Seja:
Aplicando integração por partes:
Avaliando de 0 a 1:
Passo 13
Voltando à expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido é $ V = \frac{4}{\pi^2} $ unidades cúbicas.