integral sec (5 x) tg(5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sec(5x),tan(5x),dx. O conteúdo envolve integração de funções trigonométricas usando substituição (método da cadeia) e a propriedade de que a derivada de sec(u) é sec(u),tan(u).

Passo 2

Para lidar com o fator 5x dentro das funções trigonométricas, fazemos a substituição u = 5x. Assim, derivando, temos du = 5,dx, ou seja, dx = du5.
Reescrevendo a integral em termos de u:
integral sec(5x),tan(5x),dx = integral sec(u),tan(u) cdot du5 = 15integral sec(u),tan(u),du

Passo 3

Agora usamos a factorização da derivada: sabemos que
ddul(sec(u)r) = sec(u),tan(u)

Passo 4

Logo,
integral sec(u),tan(u),du = sec(u) + C

Passo 5

Voltando à variável original x, obtemos
15integral sec(u),tan(u),du = 15sec(u) + C = 15sec(5x) + C

Resposta

15sec(5x) + C

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