Calcular a integral tripla:
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular a integral
, onde a região
é definida por
,
, e
. Isso envolve integração múltipla em três dimensões, usando cálculo integral. Vamos precisar entender como integrar funções de várias variáveis e aplicar os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a ordem de integração. Podemos integrar em qualquer ordem, mas vamos escolher integrar primeiro em relação a
, depois
, e por último
. Isso significa que vamos tratar
e
como constantes ao integrar em relação a
.
Passo 3
Vamos começar integrando a função
em relação a
, mantendo
e
fixos:
Integrando termo a termo:
- A integral de
em relação a é . - A integral de
em relação a é .
Passo 4
Aplicando os limites de
de
a
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a integral ficou mais simples:
Como
não depende de
, vamos integrar em relação a
:
Passo 6
Agora, resta integrar em relação a
:
A integral de
em relação a
é
.
Passo 7
Aplicando os limites de
de
a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.