Calcular a integral tripla:
integral triplaB(x z-y^3) d V, onde B=(x, y, z) in R^3:-1 <= x <= 1,0 <= y <= 2,0 <= z <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular a integral integral triplaB (x z - y^3) dV, onde a região B é definida por -1 <= x <= 1, 0 <= y <= 2, e 0 <= z <= 1. Isso envolve integração múltipla em três dimensões, usando cálculo integral. Vamos precisar entender como integrar funções de várias variáveis e aplicar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem de integração. Podemos integrar em qualquer ordem, mas vamos escolher integrar primeiro em relação a x, depois y, e por último z. Isso significa que vamos tratar y e z como constantes ao integrar em relação a x.

Passo 3

Vamos começar integrando a função x z - y^3 em relação a x, mantendo y e z fixos:
integral-1^1 (x z - y^3) , dx
Integrando termo a termo:
  • A integral de x z em relação a x é 12 x^2 z.
  • A integral de -y^3 em relação a x é -y^3 x.

Passo 4

Aplicando os limites de x de -1 a 1:
[ 12 x^2 z - y^3 x ]-1^1 = ( 12(1)^2 z - y^3(1) ) - ( 12(-1)^2 z - y^3(-1) )
Simplificando:
( 12 z - y^3 ) - ( 12 z + y^3 ) = 12 z - y^3 - 12 z - y^3 = -2 y^3

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
integral0^2 integral0^1 (-2 y^3) , dz , dy
Como -2 y^3 não depende de z, vamos integrar em relação a z:
integral0^1 (-2 y^3) , dz = -2 y^3 cdot (1 - 0) = -2 y^3

Passo 6

Agora, resta integrar em relação a y:
integral0^2 (-2 y^3) , dy
A integral de -2 y^3 em relação a y é -2 cdot y^44 = -12 y^4.

Passo 7

Aplicando os limites de y de 0 a 2:
[ -12 y^4 ]0^2 = -12(2)^4 - (-12(0)^4) = -12(16) - 0 = -8

Resposta

O valor da integral tripla é -8.

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