Use a integral tripla para determinar o volume do sólido o delimitado pelos paraboloides e . Dê sua resposta com duas casas decimais e utilize

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo integral tripla para encontrar o volume de um sólido delimitado pelos paraboloides e . Para isso, vamos utilizar coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração devido à simetria da região.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a interseção dos dois paraboloides para determinar os limites de integração. Igualando as duas equações:
Simplificando:
Isso nos mostra que a interseção ocorre quando em coordenadas cilíndricas, ou seja, .

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , e . Nessa coordenadas, os paraboloides ficam:
O volume será a diferença entre os dois paraboloides, integrado sobre a região circular de raio 3.

Passo 4

Definimos os limites de integração:
  • varia de a para cobrir toda a circunferência.
  • varia de a , conforme encontramos na interseção.
  • varia de (paraboloide inferior) a (paraboloide superior).

Passo 5

A integral tripla para o volume fica:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral simplifica para:
Distribuindo :
Integrando em relação a :
Subtraindo:
Agora, a integral em :
Usando :

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente unidades cúbicas.

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