Use a integral tripla para determinar o volume do sólido o delimitado pelos paraboloides z=x^2+y^2 e z=18-x^2-y^2. Dê sua resposta com duas casas decimais e utilize Pi=3,14

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo integral tripla para encontrar o volume de um sólido delimitado pelos paraboloides z = x^2 + y^2 e z = 18 - x^2 - y^2 . Para isso, vamos utilizar coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração devido à simetria da região.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a interseção dos dois paraboloides para determinar os limites de integração. Igualando as duas equações:
x^2 + y^2 = 18 - x^2 - y^2
Simplificando:
2x^2 + 2y^2 = 18 Rightarrow x^2 + y^2 = 9
Isso nos mostra que a interseção ocorre quando r^2 = 9 em coordenadas cilíndricas, ou seja, r = 3 .

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde x = rcostheta , y = rsintheta e z = z . Nessa coordenadas, os paraboloides ficam:
z = r^2 e z = 18 - r^2
O volume será a diferença entre os dois paraboloides, integrado sobre a região circular de raio 3.

Passo 4

Definimos os limites de integração:
  • theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência.
  • r varia de 0 a 3 , conforme encontramos na interseção.
  • z varia de r^2 (paraboloide inferior) a 18 - r^2 (paraboloide superior).

Passo 5

A integral tripla para o volume V fica:
V = integral0^2pi integral0^3 integralr^2^18 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a z :
integralr^2^18 - r^2 dz = (18 - r^2) - (r^2) = 18 - 2r^2
Então, a integral simplifica para:
V = integral0^2pi integral0^3 (18 - 2r^2) r , dr , dtheta
Distribuindo r :
V = integral0^2pi integral0^3 (18r - 2r^3) , dr , dtheta
Integrando em relação a r :
integral0^3 18r , dr = 9r^2 |0^3 = 9 times 9 = 81
integral0^3 2r^3 , dr = 24r^4 |0^3 = 12 times 81 = 40,5
Subtraindo:
81 - 40,5 = 40,5
Agora, a integral em theta :
V = integral0^2pi 40,5 , dtheta = 40,5 times 2pi = 81pi
Usando Pi = 3,14 :
V = 81 times 3,14 = 254,34

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente 254,34 unidades cúbicas.

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