Use a integral tripla para determinar o volume do sólido o delimitado pelos paraboloides e . Dê sua resposta com duas casas decimais e utilize
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo integral tripla para encontrar o volume de um sólido delimitado pelos paraboloides e . Para isso, vamos utilizar coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração devido à simetria da região.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a interseção dos dois paraboloides para determinar os limites de integração. Igualando as duas equações:
Simplificando:
Isso nos mostra que a interseção ocorre quando em coordenadas cilíndricas, ou seja, .
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , e . Nessa coordenadas, os paraboloides ficam:
O volume será a diferença entre os dois paraboloides, integrado sobre a região circular de raio 3.
Passo 4
Definimos os limites de integração:
varia de a para cobrir toda a circunferência.
varia de a , conforme encontramos na interseção.
varia de (paraboloide inferior) a (paraboloide superior).
Passo 5
A integral tripla para o volume fica:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral simplifica para:
Distribuindo :
Integrando em relação a :
Subtraindo:
Agora, a integral em :
Usando :
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente unidades cúbicas.