Use a lei de Biot-Savart para demonstrar as equações do campo magnético produzido por um fio retilíneo finito de comprimento L a uma distância R do mesmo. Faça L tender ao infinito para obter o valor B
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Lei de Biot-Savart, que faz parte da Eletromagnetismo. A parada é descobrir o campo magnético gerado por um fio retilíneo com comprimento finito $ L $ a uma distância $ R $ desse fio. Depois, vamos ver o que acontece quando $ L $ fica gigante, ou seja, tende ao infinito, para encontrar o valor de $ B $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz a Lei de Biot-Savart. Ela nos dá o campo magnético $ d\mathbf{B} $ gerado por um elemento de corrente $ I $ em uma posição específica:
Onde:
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo,
- $ I $ é a corrente,
- $ d\mathbf{l} $ é um elemento do fio,
- $ \mathbf{\hat{r}} $ é o vetor unitário da posição do elemento até o ponto onde queremos o campo,
- $ R $ é a distância entre o elemento do fio e o ponto.
Passo 3
Vamos considerar o fio retilíneo finito com comprimento $ L $ e escolher nosso ponto de observação a uma distância $ R $ perpendicular ao meio do fio. Graficamente, o campo magnético devido aos elementos do fio vai se somar de maneira simétrica, então podemos simplificar a integração considerando apenas a componente perpendicular.
Passo 4
Definimos um ângulo $ \theta $ entre a direção do elemento de corrente $ d\mathbf{l} $ e a linha que liga o elemento ao ponto onde estamos calculando o campo. A componente do campo magnético perpendicular a $ R $ será:
Passo 5
Para integrar isso ao longo de todo o fio, precisamos expressar $ \sin\theta $ em termos de $ L $. Se o fio vai de
a $ L/2 $, temos $ \sin\theta = \frac{R}{\sqrt{R^2 + x^2}} $, onde $ x $ é a posição ao longo do fio.
Passo 6
Substituindo $ \sin\theta $ na expressão de $ dB $, a integral fica:
Passo 7
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de
a $ L/2 $:
Passo 8
Simplificando a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Passo 9
Agora, vamos considerar o caso onde $ L $ tende ao infinito ($ L \to \infty $). Nesse limite, a expressão dentro do logaritmo se aproxima de $ L $, já que $ L $ é muito maior que $ R $:
Mas como $ L $ é infinito, precisamos revisar nossa abordagem. Na verdade, para um fio infinito, usamos uma abordagem mais direta:
Resposta
O campo magnético $ B $ produzido por um fio retilíneo infinito a uma distância $ R $ é: