Uma densidade linear
de carga elétrica se estende uniformemente ao longo de uma haste fina de comprimento L. Considere o potencial igual a zero no infinito.
a) Calcule o potencial no ponto
da figura, sendo que
está situado a uma distância d acima da extremidade direita da haste.
b) Como se reduz o resultado da parte a) quando d se torna muito maior do que L? Esse resultado faz sentido para você? Explique.
a) Calcule o potencial no ponto
b) Como se reduz o resultado da parte a) quando d se torna muito maior do que L? Esse resultado faz sentido para você? Explique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma haste fina com carga elétrica distribuída de forma uniforme ao longo do seu comprimento $ L $. Nosso objetivo é calcular o potencial elétrico em um ponto específico $ \mathrm{P}{1} $, que está a uma distância $ d $ acima da extremidade direita da haste. Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a fórmula para o potencial devido a uma distribuição contínua de carga. Além disso, vamos precisar integrar para somar os contribuições de cada pedacinho de carga da haste ao potencial em $ \mathrm{P}{1} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula do potencial elétrico $ V $ devido a uma carga $ q $ em um ponto a uma distância $ r $:
onde $ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $ é a constante eletrostática. No nosso caso, a carga está distribuída ao longo da haste, então precisamos considerar uma densidade linear de carga $ \lambda $ (carga por unidade de comprimento).
Passo 3
Vamos dividir a haste em pequenos segmentos de comprimento $ dx $. Cada segmento tem uma carga $ dq = \lambda dx $. A distância de cada segmento ao ponto $ \mathrm{P}_{1} $ varia dependendo de onde o segmento está na haste.
Passo 4
Vamos colocar uma coordenada $ x $ ao longo da haste, onde $ x = 0 $ está na extremidade direita (próxima de $ \mathrm{P}{1} $) e $ x = L $ na extremidade esquerda. A distância de um segmento $ dx $ no ponto $ x $ até $ \mathrm{P}{1} $ é dada por:
Passo 5
O potencial total $ V $ em $ \mathrm{P}_{1} $ é a soma das contribuições de todos os segmentos $ dx $ da haste. Então, integramos:
Passo 6
Vamos resolver essa integral. Fazendo a substituição $ x = d \tan \theta $, mas uma forma mais simples é reconhecer que:
Aplicando os limites de 0 a $ L $:
Simplificando:
Resposta
O potencial no ponto $ \mathrm{P}_{1} $ é dado por: