Use o mÊtodo de integração por partes para determinar as seguintes integrais
integral x^3 sin (x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^3sinl(x^2r),dx
usando o método de integração por partes. Para isso, vamos lembrar que
integral u,dv = u,v - integral v,du,
e escolher u e dv de forma que simplifiquemos o cálculo.

Passo 2

Reescrevemos o integrando como produto:
integral x^3sinl(x^2r),dx = integral x^2,l(xsin(x^2)r),dx
Fazemos a escolha
u = x^2, dv = xsin(x^2),dx
Então
du = 2x,dx
Precisamos agora de
v = integral xsin(x^2),dx

Passo 3

Para achar v, usamos a substituição t = x^2, dt = 2x,dx. Então
v = integral xsin(x^2),dx = integral sin(t),dt2 = -12cos(t) = -12cos(x^2)
Agora aplicamos a fórmula de partes:
integral x^3sin(x^2),dx = u,v - integral v,du = x^2l(-tfrac12cos(x^2)r) - integral l(-tfrac12cos(x^2)r),(2x,dx)
Isso simplifica para
integral x^3sin(x^2),dx = -12,x^2cos(x^2) + integral xcos(x^2),dx

Passo 4

Falta calcular
integral xcos(x^2),dx.
De novo fazemos t = x^2, dt = 2x,dx, logo
integral xcos(x^2),dx = 12integral cos(t),dt = 12sin(t) = 12sin(x^2)

Passo 5

Substituindo esse resultado, obtemos
integral x^3sin(x^2),dx = -12,x^2cos(x^2) + 12sin(x^2) + C
Podemos também escrever de forma fatorada:
integral x^3sin(x^2),dx = 12l(sin(x^2) - x^2cos(x^2)r) + C

Resposta

boxed integral x^3sin(x^2),dx = -12,x^2cos(x^2) + 12sin(x^2) + C

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