Determine as seguintes integrais
\int \sin ^{3}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sin^3(t),dt
O conteúdo é integração de função trigonométrica, e vamos usar a identidade que reduz o expoente e depois uma substituição simples.

Passo 2

Usamos a identidade
sin^3(t)=sin(t)l(1-cos^2(t)r)
para reescrever a integral como
integral sin^3(t),dt=integral sin(t)l(1-cos^2(t)r),dt

Passo 3

Fazemos a substituição
u=cos(t), du=-sin(t),dt,
ou seja, sin(t),dt=-du.

Passo 4

Substituindo em integral sin(t)(1-cos^2(t)),dt obtemos
integral sin(t)l(1-cos^2(t)r),dt =integral (1-u^2),(-du) =integral (u^2-1),du

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral (u^2-1),du =integral u^2,du-integral 1,du =u^33-u+C

Passo 6

Voltando a variável original t com u=cos(t), fica
u^33-u+C =cos^3(t)3-cos(t)+C

Resposta

integral sin^3(t),dt =cos^3(t)3-cos(t)+C

Exercícios relacionados