Use as matrizes A=[rr2 & 1 -1 & 3] e B=[rr1 & -3 0 & 4] para verificar às seguintes propriedades:
(A B)^-1=B^-1 A^-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
(AB)^-1 = B^-1A^-1
Trata-se de calcular as matrizes AB, (AB)^-1, A^-1 e B^-1 e comparar com B^-1A^-1. Para isso, usaremos a fórmula da inversa de matrizes 2times2.

Passo 2

Calcular AB.
AB = 2 & 1 -1 & 3 1 & -3 0 & 4 = 2cdot1 + 1cdot0 & 2cdot(-3) + 1cdot4 -1cdot1 + 3cdot0 & -1cdot(-3) + 3cdot4 = 2 & -2 -1 & 15

Passo 3

Calcular (AB)^-1 pela fórmula
se M=a & b c & d, M^-1=1ad-bcd & -b -c & a
Aqui a=2, b=-2, c=-1, d=15, logo det(AB)=2cdot15 - (-2)cdot(-1)=28. Assim,
(AB)^-1 = 12815 & 2 1 & 2

Passo 4

Calcular A^-1 e B^-1. Para
A=2 & 1 -1 & 3, det(A)=2cdot3 - (-1)cdot1=7,
temos
A^-1 = 173 & -1 1 & 2
Para
B=1 & -3 0 & 4, det(B)=1cdot4 - 0cdot(-3)=4,
temos
B^-1 = 144 & 3 0 & 1

Passo 5

Calcular B^-1A^-1:
B^-1A^-1 = 144 & 3 0 & 1 173 & -1 1 & 2 = 128 4cdot3 + 3cdot1 & 4cdot(-1) + 3cdot2 0cdot3 + 1cdot1 & 0cdot(-1) + 1cdot2 = 12815 & 2 1 & 2

Passo 6

Observamos que
(AB)^-1 = 12815 & 2 1 & 2 = B^-1A^-1

Resposta

A igualdade (AB)^-1 = B^-1A^-1 está verificada.

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