QUESTÃO 11. Calcule a integral \int \frac{4 \cdot \operatorname{sen} x \cdot d x}{(1+\cos x)^{2}}.
Orientação: Faça u=1+\cos x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{4\,\operatorname{sen} x}{(1+\cos x)^{2}}\,dx
usando a substituição indicada u=1+\cos x.

Passo 2

Definimos
u = 1 + \cos x.
Diferenciando, temos
du = -\operatorname{sen} x\,dx,
ou seja
\operatorname{sen} x\,dx = -\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{4\,\operatorname{sen} x}{(1+\cos x)^{2}}\,dx = \int \frac{4\,(-du)}{u^{2}} = -4 \,\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Calculemos \displaystyle\int u^{-2}\,du. Sabemos que
\int u^{-2}\,du = \int u^{-2}\,du = -\,u^{-1} + C.
Logo,
-4 \,\int u^{-2}\,du = -4 \bigl(-u^{-1}\bigr) + C = \frac{4}{u} + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u = 1 + \cos x, concluímos que
\int \frac{4\,\operatorname{sen} x}{(1+\cos x)^{2}}\,dx = \frac{4}{1+\cos x} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{1+\cos x} + C

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