Use um método adequado e resolva as integrais abaixo:
integral ln (raizx^2+2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral lnl(raizx^2+2xr),dx
O conteúdo envolvido é integração por partes e manipulação de logaritmos. Vamos usar primeiro a identidade
lnl(raizx^2+2xr) =tfrac12lnl(x^2+2xr)
para simplificar o integrando, e em seguida aplicar integração por partes.

Passo 2

Usando ln(raizA)=tfrac12ln(A) com A=x^2+2x, definimos
I=integral lnl(raizx^2+2xr),dx =tfrac12integral lnl(x^2+2xr),dx

Passo 3

Para integral lnl(x^2+2xr),dx, escolhemos integração por partes com
u = lnl(x^2+2xr), dv = dx
Então
du = 2x+2x^2+2x,dx = 2(x+1)x(x+2),dx, v = x

Passo 4

Pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du, obtemos
integral lnl(x^2+2xr),dx = xlnl(x^2+2xr) - integral xcdot 2(x+1)x(x+2),dx = xlnl(x^2+2xr) -2integral x+1x+2,dx

Passo 5

Para integral x+1x+2,dx, fazemos divisão de termos:
x+1x+2 =1 - 1x+2
Logo
integral x+1x+2,dx = integral 1,dx - integral 1x+2,dx = x - lnl|x+2r|

Passo 6

Substituindo esse resultado em I, temos
integral lnl(x^2+2xr),dx = xlnl(x^2+2xr) -2l(x - lnl|x+2r|r) = xlnl(x^2+2xr)-2x+2lnl|x+2r|
Então
I =tfrac12integral lnl(x^2+2xr),dx =tfrac12l[xlnl(x^2+2xr)-2x+2lnl|x+2r|r]

Passo 7

Distribuindo o tfrac12 e reunindo constantes, obtemos a forma mais enxuta:
I =x2lnl(x^2+2xr)-x+lnl|x+2r| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

integral lnl(raizx^2+2xr),dx = x2lnl(x^2+2xr);-;x;+;lnl|x+2r|;+;C

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