Encontre um contra exemplo para cada uma das seguintes afirmações, justificando sua resposta. Aqui
é um intervalo de
.
Se
é tal que
tem um ponto de máximo ou de mínimo local em
, então
é derivável em
e
.
Se
Passo 1
O enunciado pede contraexemplos a duas afirmações sobre extremos e derivada:
. “Se
tem um ponto de máximo ou mínimo local em
, então
é derivável em
.”
. “Se
é derivável em
e
, então
tem um ponto de máximo ou mínimo local em
.”
Passo 2
Para a afirmação
, consideremos
Temos
para todo
, logo
tem mínimo local (e até global) em
. Mas
Como as derivadas laterais não coincidem,
não é derivável em
.
Passo 3
Para a afirmação
(o “recíproco” de Fermat), escolhemos
Aqui
é derivável em todo lugar e
Entretanto
não tem nem máximo nem mínimo em
, pois para
temos
e para
temos
.
Resposta
Um par de contraexemplos é:
(a) Para “extremo derivável”:
em
.
(b) Para “ extremo”:
em
.
(a) Para “extremo
(b) Para “