Encontre um contra exemplo para cada uma das seguintes afirmações, justificando sua resposta. Aqui I é um intervalo de R.
Se f: I R é tal que f tem um ponto de máximo ou de mínimo local em a in int(I), então f é derivável em a e f^prime(a)=0.

Passo 1

O enunciado pede contraexemplos a duas afirmações sobre extremos e derivada:
1. “Se f tem um ponto de máximo ou mínimo local em a, então f é derivável em a.”
2. “Se f é derivável em a e f'(a)=0, então f tem um ponto de máximo ou mínimo local em a.”

Passo 2

Para a afirmação 1, consideremos
f(x)=|x|, I=R, a=0
Temos |x|>=0 para todo x, logo f tem mínimo local (e até global) em 0. Mas
f'-(0)=limhto0^-|h|-|0|h=limhto0^--hh=-1, f'+(0)=limhto0^+h-0h=1
Como as derivadas laterais não coincidem, f não é derivável em 0.

Passo 3

Para a afirmação 2 (o “recíproco” de Fermat), escolhemos
g(x)=x^3, I=R, a=0
Aqui g é derivável em todo lugar e
g'(x)=3x^2, g'(0)=0
Entretanto g não tem nem máximo nem mínimo em 0, pois para x<0 temos x^3<0 e para x>0 temos x^3>0.

Resposta

Um par de contraexemplos é:
(a) Para “extremo Rightarrow derivável”: f(x)=|x| em 0.
(b) Para “ f'(a)=0 Rightarrow extremo”: g(x)=x^3 em 0.

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