Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y
x=3-raiz1-y^2, x=3+raiz1-y^2 toro

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região do plano limitada pela curva
x = 3 - raiz1 - y^2, x = 3 + raiz1 - y^2,
que é um círculo de raio 1 centrado em (3,0). Vamos usar o método das cascas cilíndricas (em torno do eixo y), o que exige expressar a região em faixas verticais xin[a,b] e determinar para cada x a altura em y.

Passo 2

Para usar cascas verticais, resolvemos (x-3)^2+y^2=1 em função de y. Obtemos
y=pmraiz1-(x-3)^2,
e o domínio em x vai de x=2 até x=4.

Passo 3

Em cada xin[2,4] temos uma casca de raio igual a x (distância ao eixo y) e altura igual a
ytop-ybot =raiz1-(x-3)^2 -(-raiz1-(x-3)^2) =2,raiz1-(x-3)^2

Passo 4

O volume pelo método das cascas cilíndricas é
V =integralx=2^42pil(raior)l(a<urar),dx =integral2^42pi,x;2raiz1-(x-3)^2,dx =4piintegral2^4xraiz1-(x-3)^2,dx

Passo 5

Fazendo a substituição u=x-3, temos du=dx, e quando x=2 segue u=-1, quando x=4 segue u=1. Além disso x=u+3. Logo
integral2^4xraiz1-(x-3)^2,dx =integral-1^1(u+3)raiz1-u^2,du =integral-1^1uraiz1-u^2,du +3integral-1^1raiz1-u^2,du
O primeiro integral é zero por ser função ímpar em [-1,1]. O segundo é a área de meio círculo de raio 1, ou seja tfracpi2. Assim
integral2^4xraiz1-(x-3)^2,dx =3cdotpi2 =3pi2

Passo 6

Substituindo em V=4picdot3pi2, obtemos
V = 6pi^2

Resposta

O volume do toro é V = 6pi^2.

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