Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y
toro
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região do plano limitada pela curva
que é um círculo de raio 1 centrado em
. Vamos usar o método das cascas cilíndricas (em torno do eixo
), o que exige expressar a região em faixas verticais
e determinar para cada
a altura em
.
Passo 2
Para usar cascas verticais, resolvemos
em função de
. Obtemos
e o domínio em
vai de
até
.
Passo 3
Em cada
temos uma casca de raio igual a
(distância ao eixo
) e altura igual a
Passo 4
O volume pelo método das cascas cilíndricas é
Passo 5
Fazendo a substituição
, temos
, e quando
segue
, quando
segue
. Além disso
. Logo
O primeiro integral é zero por ser função ímpar em
. O segundo é a área de meio círculo de raio 1, ou seja
. Assim
Passo 6
Substituindo em
, obtemos
Resposta
O volume do toro é
.