Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo especificado.
y=x^{2} e y=6 x-2 x^{2}, em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas \,y=x^{2} e \,y=6x-2x^{2}. Vamos usar o método das cascas cilíndricas, em que cada faixa vertical de espessura \,dx gera um cilindro de raio x e altura igual à diferença entre as funções.

Passo 2

Para determinar os limites de integração, achamos onde as curvas se intersectam, isto é, resolvemos
x^{2} \;=\; 6x \;-\; 2x^{2}
3x^{2}-6x=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=2.
Logo, x varia de 0 a 2.

Passo 3

Em cada x\in[0,2], a casca cilíndrica tem:
– raio =x,
– altura =\bigl(6x-2x^{2}\bigr)-\bigl(x^{2}\bigr)=6x-3x^{2},
– espessura =dx.

Passo 4

A fórmula do volume por cascas é
V \;=\; 2\pi \int_{x=0}^{2} \bigl(\text{raio}\bigr)\,\bigl(\text{altura}\bigr)\,dx \;=\; 2\pi \int_{0}^{2} x\,(6x-3x^{2})\,dx.

Passo 5

Calculemos a integral:
V =2\pi \int_{0}^{2} (6x^{2}-3x^{3})\,dx =2\pi \Bigl[2x^{3}-\tfrac{3}{4}x^{4}\Bigr]_{0}^{2} =2\pi \bigl(2\cdot8 - \tfrac{3}{4}\cdot16\bigr) =2\pi (16-12) =2\pi\cdot4 =8\pi.

Resposta

O volume do sólido é 8\pi.

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