Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo especificado.
, e
, em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume gerado pela rotação da região limitada por
e
em torno do eixo
. Vamos usar o método das cascas cilíndricas, em que cada “casca” tem raio, altura e espessura em função de
, e o volume é dado por
Passo 2
Para achar os limites de integração em
, resolvemos
Isso dá
e
. Logo, integraremos de
a
.
Passo 3
Em cada casca:
- o raio é a distância ao eixo
, ou seja ; - a altura é a diferença em
entre as curvas, ; - a espessura é
.
Assim,
Passo 4
Calculamos o integral:
Portanto,