Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo especificado.
x=4 y^{2}-y^{3}, e x=0, em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume gerado pela rotação da região limitada por x=4y^2 - y^3 e x=0 em torno do eixo x. Vamos usar o método das cascas cilíndricas, em que cada “casca” tem raio, altura e espessura em função de y, e o volume é dado por
V = 2\pi \int_{y=a}^{y=b} (\text{raio})(\text{altura})\,dy.

Passo 2

Para achar os limites de integração em y, resolvemos
4y^2 - y^3 = 0
y^2(4 - y)=0
Isso dá y=0 e y=4. Logo, integraremos de 0 a 4.

Passo 3

Em cada casca:
  • o raio é a distância ao eixo x, ou seja r(y)=y;
  • a altura é a diferença em x entre as curvas, h(y)=(4y^2 - y^3)-0=4y^2 - y^3;
  • a espessura é dy.
    Assim,
V = 2\pi \int_{0}^{4} y\,(4y^2 - y^3)\,dy.

Passo 4

Calculamos o integral:
\int_{0}^{4} y(4y^2 - y^3)\,dy = \int_{0}^{4} (4y^3 - y^4)\,dy = \biggl[4\cdot\frac{y^4}{4} - \frac{y^5}{5}\biggr]_{0}^{4} = \bigl[y^4 - \tfrac{y^5}{5}\bigr]_{0}^{4} = 4^4 - \frac{4^5}{5} = 256 - \frac{1024}{5} = \frac{256}{5}.
Portanto,
V = 2\pi \,\frac{256}{5} = \frac{512\pi}{5}.

Resposta

\frac{512\pi}{5}.

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