Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
(1,0)
\int \frac{1}{x^{2}+6 x+12} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{x^{2}+6x+12}\,\mathrm{d}x.
Informações dadas:
  • A integral é da forma de uma função racional simples, com denominador quadrático sem fatoração em raízes reais aparentes.
  • Não há outros dados (constantes, limites); espera-se uma primitiva geral com constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo técnico: completar o quadrado no denominador para transformar a expressão numa forma conhecida. Vou reescrever x^{2}+6x+12 como um quadrado perfeito mais uma constante.
Calculo:
x^{2}+6x+12 = (x^{2}+6x+9)+3 = (x+3)^{2}+3.
Agora a integral fica
\int \frac{1}{(x+3)^{2}+3}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Fazer a substituição simples para limpar a expressão: defino a nova variável
u = x+3.
Então
\mathrm{d}u = \mathrm{d}x.
Substituindo na integral obtemos
\int \frac{1}{u^{2}+3}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Reconhecer a forma padrão. A integral
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,\mathrm{d}u
é uma primitiva conhecida. Vou explicar por que:
  • a é uma constante positiva tal que a^{2} é o termo constante no denominador.
  • Para derivar a fórmula, faça a mudança de variável v=\dfrac{u}{a}. Então \mathrm{d}u=a\,\mathrm{d}v e
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,\mathrm{d}u = \int \frac{1}{a^{2}v^{2}+a^{2}}\,a\,\mathrm{d}v = \frac{1}{a}\int \frac{1}{v^{2}+1}\,\mathrm{d}v.
Sabemos que \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}\bigl(\arctan v\bigr)=\dfrac{1}{1+v^{2}}. Portanto
\int \frac{1}{v^{2}+1}\,\mathrm{d}v = \arctan v + C.
Voltando:
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
Aqui cada símbolo significa:
  • u é a variável de integração,
  • a é a raiz positiva tal que a^{2} aparece no denominador,
  • C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao caso presente. No nosso integrando temos u^{2}+3, isto é, a^{2}=3 e portanto
a=\sqrt{3}.
Usando a fórmula:
\int \frac{1}{u^{2}+3}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{3}}\right)+C.

Passo 6

Voltar à variável original x. Lembrando que u=x+3, obtemos a primitiva em x:
\int \frac{1}{x^{2}+6x+12}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x+3}{\sqrt{3}}\right)+C.

Passo 7

Pequeno exemplo extra para fixar a ideia: se tivéssemos \int \dfrac{1}{x^{2}+4}\,\mathrm{d}x, aqui a^{2}=4 e a=2, então a primitiva seria \dfrac{1}{2}\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+C. O procedimento é exatamente o mesmo: completar quadrado (se necessário), identificar a e usar a fórmula.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\dfrac{x+3}{\sqrt{3}}\right)+C

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