Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A integral é da forma de uma função racional simples, com denominador quadrático sem fatoração em raízes reais aparentes.
- Não há outros dados (constantes, limites); espera-se uma primitiva geral com constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: completar o quadrado no denominador para transformar a expressão numa forma conhecida. Vou reescrever
como um quadrado perfeito mais uma constante.
Calculo:
Calculo:
Agora a integral fica
Passo 3
Fazer a substituição simples para limpar a expressão: defino a nova variável
Então
Substituindo na integral obtemos
Passo 4
Reconhecer a forma padrão. A integral
é uma primitiva conhecida. Vou explicar por que:
-
é uma constante positiva tal que é o termo constante no denominador. - Para derivar a fórmula, faça a mudança de variável
. Então e
Sabemos que
. Portanto
Voltando:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a variável de integração, -
é a raiz positiva tal que aparece no denominador, -
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicar a fórmula ao caso presente. No nosso integrando temos
, isto é,
e portanto
Usando a fórmula:
Passo 6
Voltar à variável original
. Lembrando que
, obtemos a primitiva em
:
Passo 7
Pequeno exemplo extra para fixar a ideia: se tivéssemos
, aqui
e
, então a primitiva seria
. O procedimento é exatamente o mesmo: completar quadrado (se necessário), identificar
e usar a fórmula.