Use o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pela curva
e pelas retas
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que resulta da rotação da região limitada pela curva $ y = x^3 $, pelas retas $ y = 8 $ e $ x = 0 $ em torno do eixo $ y $. Vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é ótimo para esses tipos de problemas. Precisamos entender como as cascas se formam e como calcular o volume delas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Sabemos que a curva $ y = x^3 $ intercepta a reta $ y = 8 $ quando $ x^3 = 8 $, ou seja, $ x = 2 $. Então, nosso intervalo de $ x $ vai de 0 até 2.
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, consideramos uma fatia fina vertical na posição $ x $. Quando essa fatia é rodada em torno do eixo $ y $, forma uma casca cilíndrica. Precisamos encontrar duas coisas para calcular o volume dessa casca:
- Raio da casca: A distância da fatia ao eixo de rotação, que é $ x $.
- Altura da casca: A diferença entre a reta de cima e a curva de baixo, que é $ 8 - x^3 $.
Passo 4
A fórmula para o volume de uma casca cilíndrica é:
Como vamos integrar todas as cascas de $ x = 0 $ até $ x = 2 $, a espessura é $ dx $. Então, a integral para o volume total fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
Integral de $ 8x $ é $ 4x^2 $ e a integral de $ x^4 $ é $ \frac{x^5}{5} $. Então:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 2:
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
Portanto, o volume do sólido é: