Use o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pela curva y=x^3 e pelas retas y=8 e x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que resulta da rotação da região limitada pela curva $ y = x^3 $, pelas retas $ y = 8 $ e $ x = 0 $ em torno do eixo $ y $. Vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é ótimo para esses tipos de problemas. Precisamos entender como as cascas se formam e como calcular o volume delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Sabemos que a curva $ y = x^3 $ intercepta a reta $ y = 8 $ quando $ x^3 = 8 $, ou seja, $ x = 2 $. Então, nosso intervalo de $ x $ vai de 0 até 2.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, consideramos uma fatia fina vertical na posição $ x $. Quando essa fatia é rodada em torno do eixo $ y $, forma uma casca cilíndrica. Precisamos encontrar duas coisas para calcular o volume dessa casca:
  1. Raio da casca: A distância da fatia ao eixo de rotação, que é $ x $.
  2. Altura da casca: A diferença entre a reta de cima e a curva de baixo, que é $ 8 - x^3 $.

Passo 4

A fórmula para o volume de uma casca cilíndrica é:
V = 2pi times (raio) times (a
Como vamos integrar todas as cascas de $ x = 0 $ até $ x = 2 $, a espessura é $ dx $. Então, a integral para o volume total fica:
x = 0

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
V = 2pi integral0^2 (8x - x^4) , dx
Integral de $ 8x $ é $ 4x^2 $ e a integral de $ x^4 $ é $ \frac{x^5}{5} $. Então:
8x

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 2:
V = 2pi ( [4(2)^2 - (2)^55] - [4(0)^2 - (0)^55] )
Calculando cada parte:
4(2)^2 = 16 e (2)^55 = 325
Então:
V = 2pi ( 16 - 325 ) = 2pi ( 805 - 325 ) = 2pi ( 485 )

Resposta

Portanto, o volume do sólido é:
V = 965pi

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