8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
z=\cos \left(x^{3}+x y\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
z = \cos\bigl(x^3 + x y\bigr).
O conteúdo aqui é a aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais e, para as segundas derivadas, também a regra do produto.

Passo 2

Primeiro definimos
u(x,y) = x^3 + x y,
de modo que z = \cos(u). Vamos achar as primeiras derivadas:
- Para \displaystyle z_x, usamos
z_x = -\sin(u)\,u_x,
e
u_x = 3x^2 + y,
logo
z_x = -\bigl(3x^2+y\bigr)\,\sin\bigl(x^3 + x y\bigr).
- Para \displaystyle z_y, usamos
z_y = -\sin(u)\,u_y,
e
u_y = x,
logo
z_y = -x\,\sin\bigl(x^3 + x y\bigr).

Passo 3

Agora calculamos z_{xx} e z_{xy}.
- Para \displaystyle z_{xx}, derivamos
z_x = -(3x^2+y)\,\sin(u)
em relação a x, usando produto e cadeia:
z_{xx} = -\bigl(6x\bigr)\sin(u)\; -\;(3x^2+y)\cos(u)\,u_x.
Substituindo u e u_x:
z_{xx} = -6x\,\sin\bigl(x^3+xy\bigr) - (3x^2+y)^2\,\cos\bigl(x^3+xy\bigr).
- Para \displaystyle z_{xy}, derivamos z_x em relação a y:
z_{xy} = -\bigl(1\bigr)\sin(u)\; -\;(3x^2+y)\cos(u)\,u_y
pois \partial_y(3x^2+y)=1 e u_y=x. Então
z_{xy} = -\sin\bigl(x^3+xy\bigr) - x\,(3x^2+y)\,\cos\bigl(x^3+xy\bigr).

Passo 4

Por simetria de derivadas cruzadas (função C^2), z_{yx}=z_{xy}. Mas vamos calcular também z_{yx} e z_{yy} a partir de z_y.
- Para \displaystyle z_{yx}, derivamos
z_y = -x\,\sin(u)
em x:
z_{yx} = -\sin(u) - x\,\cos(u)\,u_x = -\sin\bigl(x^3+xy\bigr) - x\,(3x^2+y)\,\cos\bigl(x^3+xy\bigr),
conferindo que z_{yx}=z_{xy}.
- Para \displaystyle z_{yy}, derivamos z_y em y:
z_{yy} = -x\,\cos(u)\,u_y = -x\,\cos\bigl(x^3+xy\bigr)\;\cdot x = -x^2\,\cos\bigl(x^3+xy\bigr).

Resposta

z_{xx} = -6x\,\sin\bigl(x^3+xy\bigr)\;-\;(3x^2+y)^2\,\cos\bigl(x^3+xy\bigr),
z_{xy} = -\sin\bigl(x^3+xy\bigr)\;-\;x\,(3x^2+y)\,\cos\bigl(x^3+xy\bigr),
z_{yx} = -\sin\bigl(x^3+xy\bigr)\;-\;x\,(3x^2+y)\,\cos\bigl(x^3+xy\bigr),
z_{yy} = -x^2\,\cos\bigl(x^3+xy\bigr).

Exercícios relacionados