8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
O conteúdo aqui é a aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais e, para as segundas derivadas, também a regra do produto.
Passo 2
Primeiro definimos
de modo que
. Vamos achar as primeiras derivadas:
- Para
, usamos
e
logo
- Para
, usamos
e
logo
Passo 3
Agora calculamos
e
.
- Para
, derivamos
em relação a
, usando produto e cadeia:
Substituindo
e
:
- Para
, derivamos
em relação a
:
pois
e
. Então
Passo 4
Por simetria de derivadas cruzadas (função
),
. Mas vamos calcular também
e
a partir de
.
- Para
, derivamos
em
:
conferindo que
.
- Para
, derivamos
em
: