Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. Obs.: Esboce a região a ser rotacionada e identifique os elementos da casca cilíndrica para calcular o volume do sólido.
; em torno do eixo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a região do primeiro quadrante limitada por
- a hipérbole ,
- a reta ,
- as retas horizontais e
.
O conteúdo aqui é aplicação do método das cascas cilíndricas, que usa integrais em para rotação em torno de eixo horizontal.
- a hipérbole
- a reta
- as retas horizontais
O conteúdo aqui é aplicação do método das cascas cilíndricas, que usa integrais em
Passo 2
Esboçando a região em
: para cada
entre
e
, a curva
dá
e a outra fronteira vertical é
. Logo a região é um “retângulo curvado” com
e
.
Passo 3
Num elemento de casca cilíndrica horizontal em altura
:
– o raio da casca é a distância ao eixo , ou seja
,
– a altura da casca é o comprimento em , ou seja
– o raio da casca é a distância ao eixo
– a altura da casca é o comprimento em
– a espessura é
.
Assim o elemento de volume é
Assim o elemento de volume é
Passo 4
Agora integramos
de
até
: