Use o método dos coeficientes a determinar para calcular uma solução particular das seguintes equações diferenciais:
;
Passo 1
A gente tem a equação diferencial
. O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e a gente vai usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em chutar uma forma para a solução particular com parâmetros a descobrir.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução homogênea para checar ressonância. A equação homogênea é
A equação característica é
Logo,
e como sen e cos não aparecem aí, não tem ressonância e podemos prosseguir com o chute padrão.
Passo 3
Proponho uma solução particular da forma
pois o lado direito é
e essa combinação permite ajustar coeficientes.
Passo 4
Agora calculo as derivadas de
:
Passo 5
Substituo na equação
:
Agrupando termos de
e
, fica
Esse resultado tem que ser igual a
.
Passo 6
Igualando coeficientes, obtemos o sistema:
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
portanto
.
Passo 7
Então a solução particular é