Use o método dos coeficientes a determinar para calcular uma solução particular das seguintes equações diferenciais:
y^prime prime-y^prime=sen x;

Passo 1

A gente tem a equação diferencial y'' - y' = sin x. O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e a gente vai usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em chutar uma forma para a solução particular com parâmetros a descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução homogênea para checar ressonância. A equação homogênea é
y'' - y' = 0
A equação característica é
r^2 - r = 0 Longrightarrow r(r-1)=0 Rightarrow r=0,,1
Logo,
yh(x) = C1 + C2 e^x,
e como sen e cos não aparecem aí, não tem ressonância e podemos prosseguir com o chute padrão.

Passo 3

Proponho uma solução particular da forma
yp(x) = A cos x + B sin x,
pois o lado direito é sin x e essa combinação permite ajustar coeficientes.

Passo 4

Agora calculo as derivadas de yp:
yp'(x) = -Asin x + Bcos x,
yp''(x) = -Acos x - Bsin x

Passo 5

Substituo na equação y'' - y' = sin x:
yp'' - yp' = (-Acos x - Bsin x) - (-Asin x + Bcos x)
Agrupando termos de cos x e sin x, fica
yp'' - yp' = (-A - B)cos x + (A - B)sin x
Esse resultado tem que ser igual a 0cdotcos x + 1cdotsin x.

Passo 6

Igualando coeficientes, obtemos o sistema:
-A - B = 0, A - B = 1
Da primeira equação vem A = -B. Substituindo na segunda:
(-B) - B = 1 Rightarrow -2B = 1 Rightarrow B = -tfrac12,
portanto A = -B = tfrac12.

Passo 7

Então a solução particular é
yp(x) = 12cos x - 12sin x

Resposta

yp(x)=tfrac12cos x - tfrac12sin x

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