Use o método dos coeficientes a determinar para calcular uma solução particular das seguintes equações diferenciais:
6 y^prime prime+2 y^prime-y=7 x(x+1) e^x.

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a EDO linear de coeficientes constantes
6 y’’ + 2 y’ − y = 7 x(x+1)e^x
O conteúdo envolve o método dos coeficientes a determinar, que serve justamente para termos forçados do tipo polinômio·e^αx.

Passo 2

Primeiro, verificamos a parte homogênea para checar ressonâncias. A equação característica é
6r^2 + 2r - 1 = 0
Resolvendo:
r = -2 pm raiz4 + 2412 = -2 pm 2raiz712 = -1 pm raiz76
Como nenhuma raiz é r = 1, não há ressonância com o termo e^x do lado direito.

Passo 3

O termo não-homogêneo é 7(x^2 + x)e^x, um polinômio de grau 2 multiplicado por e^x. Pelo método, assumimos
yp(x) = (A x^2 + B x + C)e^x
onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 4

Para calcular y_p’ e y_p’’, seja g(x)=A x^2 + B x + C. Então:
g'(x) = 2A x + B, g''(x)=2A
Como y_p = g e^x, temos:
yp' = (g' + g)e^x, yp'' = (g'' + 2g' + g)e^x

Passo 5

Agora substituímos em 6 y_p’’ + 2 y_p’ − y_p e factorizamos e^x. O coeficiente resultante é:
6l[A x^2 + (4A+B)x + (C+2B+2A)r] +2l[A x^2 + (2A+B)x + (B+C)r] -l[A x^2 + B x + Cr] = e^xl[7A x^2 + 7B x + (12A+14B+7C)r]
Esse deve ser igual a 7(x^2 + x)e^x, ou seja:
7A=7, 7B=7, 12A+14B+7C=0

Passo 6

Resolvendo o sistema:
A=1, B=1, 12cdot1 + 14cdot1 + 7C = 0 implies 26 + 7C = 0 implies C = -267
Logo a solução particular é:

Passo 7

final_answer

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