Use o método dos coeficientes a determinar para calcular uma solução particular das seguintes equações diferenciais:
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Passo 1
O enunciado pede uma solução particular para a EDO linear de coeficientes constantes
6 y’’ + 2 y’ − y = 7 x(x+1)e^x
O conteúdo envolve o método dos coeficientes a determinar, que serve justamente para termos forçados do tipo polinômio·e^αx.
Passo 2
Primeiro, verificamos a parte homogênea para checar ressonâncias. A equação característica é
Resolvendo:
Como nenhuma raiz é r = 1, não há ressonância com o termo e^x do lado direito.
Passo 3
O termo não-homogêneo é 7(x^2 + x)e^x, um polinômio de grau 2 multiplicado por e^x. Pelo método, assumimos
onde A, B e C são constantes a determinar.
Passo 4
Para calcular y_p’ e y_p’’, seja g(x)=A x^2 + B x + C. Então:
Como y_p = g e^x, temos:
Passo 5
Agora substituímos em 6 y_p’’ + 2 y_p’ − y_p e factorizamos e^x. O coeficiente resultante é:
Esse deve ser igual a 7(x^2 + x)e^x, ou seja:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Logo a solução particular é:
Passo 7
final_answer