Use o método dos coeficientes a determinar para calcular uma solução particular das seguintes equações diferenciais: ;
Passo 1
O enunciado pede para usar o método dos coeficientes a determinar e calcular uma solução particular da EDO de 2º ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: método dos coeficientes a determinar para equações lineares de 2ª ordem. Vamos precisar da equação característica para checar ressonância e, em seguida, propor um palpite para y_p baseado no formato do termo forçante.
Passo 2
Primeiro, vamos à parte homogênea para ver se há ressonância. A equação homogênea é
A equação característica é
Resolvendo, temos
Como nenhuma raiz é , não há ressonância com o fator .
Passo 3
O termo à direita é . Pelo método dos coeficientes a determinar, como não há ressonância, fazemos o palpite
onde e são constantes a determinar.
Passo 4
Agora vamos calcular as derivadas de .
Seja . Então
Como e , substituímos para obter
Passo 5
Substituímos na equação original . O lado esquerdo fica
Simplificando o coeficiente de :
Portanto
yp'' +4yp' +2yp = (-2Ax -2B)e^-2x
Passo 6
Para que isto seja igual a x e^-2x, igualamos coeficientes no polinômio -2Ax -2B = 1cdot x + 0:
-2A = 1 implies A = -tfrac12,
-2B = 0 implies B = 0
Passo 7
Substituindo de volta no palpite, temos a solução particular
yp(x) = l(-tfrac12 x + 0r)e^-2x = -tfrac12 x e^-2x