Use o método dos coeficientes a determinar para calcular uma solução particular das seguintes equações diferenciais:
y^prime prime+4 y^prime+2 y=x e^-2 x;

Passo 1

O enunciado pede para usar o método dos coeficientes a determinar e calcular uma solução particular da EDO de 2º ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: método dos coeficientes a determinar para equações lineares de 2ª ordem. Vamos precisar da equação característica para checar ressonância e, em seguida, propor um palpite para y_p baseado no formato do termo forçante.

Passo 2

Primeiro, vamos à parte homogênea para ver se há ressonância. A equação homogênea é
y'' + 4y' + 2y = 0
A equação característica é
r^2 + 4r + 2 = 0
Resolvendo, temos
r = -4 pm raiz16 - 82 = -2 pm raiz2
Como nenhuma raiz é -2, não há ressonância com o fator e^-2x.

Passo 3

O termo à direita é x e^-2x. Pelo método dos coeficientes a determinar, como não há ressonância, fazemos o palpite
yp(x) = (Ax + B)e^-2x
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Agora vamos calcular as derivadas de yp.
Seja P(x) = Ax + B. Então
yp = P(x)e^-2x, yp' = P'(x)e^-2x -2P(x)e^-2x, yp'' = P''(x)e^-2x -4P'(x)e^-2x +4P(x)e^-2x
Como P'(x)=A e P''(x)=0, substituímos para obter
yp' = l(A -2(Ax+B)r)e^-2x = (-2Ax + (A -2B))e^-2x,
yp'' = l(-4A +4(Ax+B)r)e^-2x = (4Ax -4A +4B)e^-2x

Passo 5

Substituímos na equação original y'' +4y' +2y = x e^-2x. O lado esquerdo fica
(yp'' +4yp' +2yp) = l[(4Ax -4A +4B) +4(-2Ax +A -2B)+2(Ax+B)r]e^-2x
Simplificando o coeficiente de e^-2x:
underbrace4Ax -8Ax +2Ax=-2Ax + underbrace(-4A+4A) + (4B-8B+2B)=-2B = (-2Ax -2B)
Portanto
yp'' +4yp' +2yp = (-2Ax -2B)e^-2x

Passo 6

Para que isto seja igual a x e^-2x, igualamos coeficientes no polinômio -2Ax -2B = 1cdot x + 0:
-2A = 1 implies A = -tfrac12,
-2B = 0 implies B = 0

Passo 7

Substituindo de volta no palpite, temos a solução particular
yp(x) = l(-tfrac12 x + 0r)e^-2x = -tfrac12 x e^-2x

Resposta

A solução particular é: yp(x) = -tfrac12 x e^-2x.

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