Use o Método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral das EDOs
y^prime prime+omega0^2 y=cos omega0 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y'' + omega0^2 y = cos(omega0 t) usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse é um caso de forçamento ressonante, pois o termo forçante cos(omega0 t) é solução da homogênea. Vamos precisar conhecer a solução geral da homogênea e então ajustar um palpite (ansatz) para a parte particular.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada y'' + omega0^2 y = 0. As raízes do polinômio característico são r = pm i,omega0, então
yh(t) = Acos(omega0 t) + Bsin(omega0 t)

Passo 3

Como a parte não-homogênea é cos(omega0 t), que coincide com uma solução da homogênea, multiplicamos o palpite usual por t. Fazemos o ansatz
yp(t) = tl(Ccos(omega0 t) + Dsin(omega0 t)r)

Passo 4

Agora calculamos yp' e yp'', substituímos em y'' + omega0^2 y = cos(omega0 t) e igualamos os coeficientes de cos(omega0 t) e sin(omega0 t). Isso dá o sistema
2D,omega0 = 1, -2C,omega0=0,

Passo 5

cuja solução é C=0 e D=1/(2,omega0). Concluímos que
yp(t) = t2,omega0sin(omega0 t)

Passo 6

e a solução geral é a soma da homogênea com essa parte particular.

Resposta

y(t)=Acos(omega0 t)+Bsin(omega0 t)+t2,omega0sin(omega0 t)

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